在数学中，弱微分（Weak Derivative）是一个函数的微分（强微分）概念的推广，它可以作用于那些勒贝格可积（Lebesgue Integrable）的函数，而不必预设函数的可微性（事实上大部分可以弱微分的函数并不可微）。一个典型的勒贝格可积函数的空间是L^1([a, b])。在分布中，可以定义一个更一般的微分概念。
定义
令u是一个在L^1([q,p])\ 中的勒贝格可积的函数，称v \in L^1([q,p])是u的一个弱微分，如果
:\int^p_q u(t)\varphi'(t)dt=-\int^p_q v(t)\varphi(t)dt
其中\varphi是任意一个连续可微的函数，并且满足\varphi(p)=\varphi(q)=0。
推广到n维的情形，如果u和v是L_{loc}^1(U)中的函数（在某个开集U \subset \mathbb{R}^n中局部可积），并且\alpha是一个多重指标，那么v称为u的\alpha次弱微分，如果
:\int_U u D^{\alpha}\varphi=(-1)^\int_U v\varphi
其中\varphi\in C^{\infty}_c (U)是一个任意给定的函数，即给定的支撑集含于U的无穷可微的函数。
如果u的弱微分存在，一般被记为D^{\alpha}u。可以证明，一个函数的弱微分在测度意义是唯一的，即如果有两个不同的弱微分，其仅可能在一个零测集上存在差异。
例子
函數 u:[-1,1]\to [0,1]:t\mapsto u(t)=|t| 在 t=0 並不可微，但具有以下被稱為符號函數的弱微分：
: v :[-1,1]\to [-1,1]:t\mapsto v(t)= \begin{cases} 1 \quad & \textrm{ if }\, t > 0 \\ 0 \quad & \textrm{ if } \, t=0 \\ -1 \quad & \textrm{ if }\, t
性质
如果两个函数是相同函数的弱导数，那么它们除了在一个勒贝格测度为零的集合上以外相等，也就是说，它们几乎处处相等。如果我们考虑函数的等价类，其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等，那么弱导数是唯一的。
此外，如果u是可微的，那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步，两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。
参见
*次导数
参考文献
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