普朗歇尔定理

在数学中， 普朗歇尔定理（有时称为帕塞瓦爾-普朗歇爾恒等式 ）是调和分析的一个结果，它由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分。也就是说，如果 f(x) 是实轴上的函数，且有频谱 \widehat{f}(\xi) ，那么{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation=\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx = \int_{-\infty}^\infty |\widehat{f}(\xi)|^2 \, d\xi|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
此式也可以用L²范数范数写为
||f(x)||_{L^2} = ||\hat{f}(\xi)||_{L^2}
更精确的表述是，如果一个函数同时在 Lp 空间 L^1(\mathbb{R}) 和 L^2(\mathbb{R}) 中，那么它的傅里叶变换也在 L^2(\mathbb{R}) 中，且傅里叶变换是关于 L^2 范数的等距映射。这意味着， L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) 上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个 L^2(\mathbb{R}) \mapsto L^2(\mathbb{R}) 的等距同构 ，后者有时称为普朗歇尔变换。这个等距同构实际上是一个幺正映射。这使得我们可以对全体平方可积函数进行傅里叶变换。

普朗歇尔定理在 n 维欧几里德空间 \mathbb{R}^n 上仍然有效 。更一般地，该定理对局部紧阿贝尔群也成立。对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群，还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是非交换调和分析的主题。

傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理，该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果（但不那么具有一般性）。

借助极化恒等式，我们还可以将普朗歇尔定理用于计算 L^2(\mathbb{R}) 中两个函数的内积。也就是说，设 f(x) 和 g(x) 是两个 L^2(\mathbb{R}) 中的函数，而 \mathcal P 表示普朗歇尔变换，则\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty (\mathcal P f)(\xi) \overline{(\mathcal P g)(\xi)} \, d\xi,若 f(x) 和 g(x) 还是 L^1(\mathbb{R}) 函数，那么还有 (\mathcal P f)(\xi) = \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,和 (\mathcal P g)(\xi) = \widehat{g}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty g(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,于是有{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi) \overline{\widehat{g}(\xi)} \, d\xi.|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
参考文献

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外部链接
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• [http://mathworld.wolfram.com/PlancherelsTheorem.html Plancherel's Theorem] on Mathworld