波前集

在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 f 的波前集 \text{WF}(f) 在奇异支集 \text{singsupp}(f) 的基础上进一步刻画了 f 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由
拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。

定义
在欧式空间的一个区域 X\subset\mathbb{R}^n 中，一个分布 u\in\mathcal{D}'(X) 在一个点 x\in X 处的奇异纤维 \Sigma_x(u)，作为 \mathbb{R}^n\setminus\{0\}的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换，\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\} 不属于 \Sigma_x(u) 当且仅当存在紧支集光滑函数 \phi\in C_0^\infty(X) 以及 \xi 的一个锥邻域（在正实数乘法下不变） \Gamma 使得 \phi(x)\neq0，并且在 \Gamma 中有如下估计：对于任意正整数 N，存在正常数 C_N 使得

:|\widehat{(\phi u)}(\eta)| \leq C_N(1+|\eta|)^{-N} \;\;\;\forall\;\eta\in\Gamma.

（我们经常将这个估计写为|\widehat{\phi u}(\eta)|=O(\langle\eta\rangle^{-\infty})。）

f 的波前集 \text{WF}(u) 定义为

:\text{WF}(u)=\{(x,\xi)\in\mathbb{R}^n\times(\mathbb{R}^n\setminus\{0\}):\xi\in\Sigma_x(u)\}.

由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形 X 上的分布 f 的波前集 \text{WF}(f) 为余切丛去掉零截面 T^\ast X\setminus0 的一个锥子集。

如果 B:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)有Schwarz核 K_B\in\mathcal{D}'(Y\times X)，定义

:\text{WF}'(B)=\{(y,\eta,x,\xi)\in T^\ast Y\times T^\ast X:(y,\eta, x,-\xi)\in\text{WF}(K_B).

对于拟微分算子 A\in\Psi^m(X)， 可以验证 \text{WF}'(A) 包含于 (T^\ast X\setminus0)\times(T^\ast X\setminus0) 的对角线 \Delta(T^\ast X\setminus0)=\{(x,\xi,x,\xi):(x,\xi)\in T^\ast X\setminus0\}中。并且如果我们定义 \text{WF}(A)\subset T^\ast X\setminus0 如下：(x_0,\xi_0)\not\in\text{WF}(A) 当且仅当在(x_0,\xi_0)的一个锥邻域中，A 的象征满足估计

:\sigma(A)(x,\xi)=O(\langle\xi\rangle^{-\infty})

那么我们有 (x,\xi)\in\text{WF}(A) 当且仅当 (x,\xi,x,\xi)\in\text{WF}'(A)。

等价定义
Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用：\text{WF}(u) 是所有满足如下性质的点 (x,\xi)在T^\ast X\setminus0 中的补集：
存在 (x,\xi) 的锥邻域 \Gamma 使得对于任意的满足 \text{WF}(A)\subset\Gamma 的拟微分算子 A\in\Psi^0(X)， 有 Au\in C^\infty。

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

性质
（1） 如果记 \pi:T^\ast X\setminus0\to X 为余切丛上自然投影，则 \pi(\text{WF}(u))=\text{sing supp}(u)。

（2） 对于拟微分算子 A\in\Psi^m， \text{WF}(Au)\subset\text{WF}(A)\cap\text{WF}(u)。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子a(x,D)，\text{WF}(a(x,D)u)\subset\text{WF}(u)。

（3） 如果 f:X\to Y 是一个光滑映射，记 N_f=\{(f(x);\eta)\in T^\ast Y, {}^Tf(x)'\eta=0\} 为 f 的法丛。如果 u\in\mathcal{D}'(Y)满足 \text{WF}(u)\cap N_f=\emptyset，那么我们可以“唯一的”定义 u 在 f 下的拉回 f^\ast u\in\mathcal{D}'(X)。并且我们有 \text{WF}(f^\ast u)\subset f^\ast\text{WF}(u)。 特别的，如果 f 是一个微分同胚，\text{WF}(f^\ast u)=f^\ast\text{WF}(u)。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

（4）令 B:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y) 如果将 \text{WF}'(B) 视作从 T^\ast X 到 T^\ast Y 的一个关系，并且记
\text{WF}'_X(B)=WF'(B)^{-1}(0_Y),\;\;\text{WF}'_Y(B)=WF'(B)(0_X)。这里0_X和0_Y分别是X和Y上余切丛的零截面。则如果 u\in\mathcal{D}'(X)满足 \text{WF}(u)\cap\text{WF}'_X(B)=\emptyset，那么我们可以“唯一的”定义Bu\in\mathcal{D}'(Y)。并且我们有 \text{WF}(Bu)\subset\text{WF}'(B)(\text{WF}(u))\cup\text{WF}'_Y(B)。

（5）如果 A:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y) 和 B:C_0^\infty(Y)\to\mathcal{D}'(Z) 满足 \text{WF}'_Y(A)\cap\text{WF}'_Y(B)=\emptyset，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 B\circ A:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Z)。并且我们有
:\text{WF}'(B\circ A)\subset(\text{WF}'_Z(B)\times(0_X))\cup(0_Z\times\text{WF}'_X(A))\cup(\text{WF}'(B)\circ\text{WF}'(A))
这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

例子
\delta函数
振荡积分
余法分布
拉格朗日分布
应用
分布的运算
拟微分算子与微局部化
奇异性的传播
推广
以上所定义的波前集描述的是分布的关于 C^\infty 正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 \text{WF}_A，关于Gevery类 G^s 的波前集，关于Sobolev空间 H^s 的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。

参考来源

• Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
• Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities