博雷尔测度
博雷爾代數是實數上包含所有區間的最小σ代數，其中的元素稱作博雷爾集；博雷爾測度（）是σ代數上對區間[a, b]給出值b-a的測度。 博雷爾測度並不完備，因此習慣使用勒貝格測度：每個博雷爾可測集都是勒貝格可測的，並且它們的測度值吻合。 在抽象測度理論中，設E為局部緊豪斯多夫空间。E上的一個博雷爾測度是 E的博雷爾代數\mathfrak{B}(X) 上的任何一個測度μ。 如果μ在所有博雷爾集上既是內正則也是外正則的，那麼μ稱作正則博雷爾測度…
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共 8 篇文章
狄拉克δ函数
\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}隨a \rightarrow 0的（分佈意義上的）極限。]] 在科學和數學中，狄拉克函數或簡稱函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电…
不可测集
在數學上，不可測集指的是一類無法指定有意義的「容積」的集合。在數學上，學者建構此類集合以為形式集合論提供關於長度、面積、體積等觀念的資訊。在策梅洛-弗蘭克爾集合論的架構下，選擇公理蘊含了實數集\mathbb{R}有不可測的子集。 自不可測集的提出以來，這觀念掀起了許多的爭議，在歷史上，這曾使得博雷爾以及柯爾莫哥洛夫將機率論討論的對象限至於可測集上。實數上的可測集是區間的可數聯集與交集（即博雷爾集）與零測集之間的加減的結果。可測集合的數量…
幾乎處處
在測度論裡，若說一個性質為幾乎處處成立，即表示不符合此性質的元素組成的集合為一零測集，即其測度等於零的集合。當使用在實數的性質上時，若沒有另外提起則假定為勒貝格測度。 一個有全測度的集合是一個其補集為零測度的集合。 除了說一個性質幾乎處處成立之外，偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的，即使幾乎所有這一詞有著其他的意義。 下面是包含有「幾乎處處」這一詞的一些定理： 若f : R→R為一勒貝格可積函數且f(x)幾乎處處大於零，則 ::…
梭羅維模型
在數學的集合論中，梭羅維模型是一個由在1970年建構的模型。在這模型中，策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）所有的公理成立，但不包括選擇公理；而在此模型中所有的集合都是勒貝格可測的。這個模型的建構仰賴於不可達基數的存在。 梭羅維藉此模型顯示說選擇公理對證明不可測集的存在性而言是必要的，至少在與帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）相容的不可達基數存在的狀況下是如此。 陳述 以下，ZH表示策梅洛-弗蘭克爾集合論；而DC表示依賴選擇公理。…
维纳空间
維納空間是測度理論中的空間，在無限維度的向量空間中用來建立局部有限的正值測度。它是美国数学家諾伯特·維納在1923年研究抽象布朗运动时首先引进的。这牵涉到对维纳测度和积分，预期平移(非随机平移)，随机平移的介绍。 定義 設定H為可分離的希爾伯特空間，E為可分離的巴拿赫空間。i : H \to E是稠密集值域中的一個單射連續的線性映射（即\overline{i(H)} = E）。那個值域希爾伯特空間的柱集測度\gamma^{H}。這三者(…
維塔利覆蓋引理
數學上，維塔利(Vitali)覆蓋引理是一個組合幾何的結果，用於實分析中。這引理說給出一族球，可以從中找到一族互不相交的球，將這些球半徑增加一定倍後，就能把其他的球都覆蓋住。 引理敘述 有限多球 在一個度量空間中有一族閉球B_1,\ldots,B_n，則這一族球中存在互不相交的球B_{i_1},\ldots,B_{i_m}，適合條件 ::B_1\cup\ldots \cup B_n \subset 3B_{i_1}\cup\ldots …
保测变换
保测变换是一种特殊的可测变换，它除了保持集合的可测性外，还保持集合的测度不变。 形式定义 设f是从测度空间Ω1(Σ1, m1)到测度空间Ω2(Σ2, m2)的可测变换，Σi和mi分别是相应的可测空间和测度，则f称为从Ω1到Ω2的保测变换。若f满足：∀Ω2中的可测集S，有 m1(f-1(S)) =m2(S)。 若f是从Ω1到Ω2的保测变换，且f是双射。则f称为从Ω1到Ω2的同构。