二阶导数的对称性
二阶导数的对称性，也称为混合导数的相等，或杨定理（），指取一个n元函数 :f(x_{1},x_{2}, \dots ,x_{n}) 的偏导数可以交换。如果关于x_{i}的偏导数用一个下标i表示，则对称性断言二阶偏导数f_{ij}满足等式 :f_{ij}=f_{ji} 从而它们组成一个n×n 对称矩阵。 黑塞矩阵是典型对称的 f的二阶偏导数称为f的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数；即关于不同两个变量相继之导数。 在最正常的情形黑塞矩…
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倒数定则
倒数定则（）是数学中关于函数的倒数的导数的一个计算定则。 设有函数g(x)，则其倒数\frac{1}{g(x)}的导数为 :\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{- g'(x)}{(g(x))^2} 例子 :\frac{1}{x^2 + 2x}的导数为： :\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2 + 2x}\right) = \frac{-2x - 2}{(…
魏尔施特拉斯逼近定理
斯通—魏爾施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一個分析學上的定理，其描述了在緊緻豪斯多夫空間(X, \tau)上的實數連續函數C(X, \mathbb{R})能夠被較小的函數集逼近的條件。 定義 對於緊緻豪斯多夫空間 (X, \tau)以及\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})，我們定義 \mathcal{A}是一個代數 (algebra) 如果\mathcal{…
海涅-康托尔定理
海涅-康托尔定理，以愛德華·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧緻度量空间，N是一个度量空间，则每一个连续函数 :f : M → N, 都是均勻连续的。 特别地，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。 证明 1 假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题 :\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 ，使得对于所有M内的x和y，都有 d(x,…
包络定理
包络定理(Envelop Theorem)是带参数的最优化问题中的一个定理。这个定理的内容是，参数的值变动时，目标函数的变动只和参数的变动有关，而与自变量（因参数变动而引起）的变动无关。包络定理在最优化领域非常有用。 具体表述 无约束的情形 设f(\mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha})是\mathbb{R}^{n+l}上的可微实函数，其中\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}是自变量，\bo…
初值定理
在数学分析中，初值定理是将时间趋于零时的頻域表达式与時域行为建立联系的定理。 它简称为IVT。 令 : F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt 为 ƒ(t) 的（单边）拉普拉斯变换。初值定理表明 : \lim_{t\to 0}f(t)=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}. \, 证明 基于导数的拉普拉斯变换，我们有： :sF(s)=f(0^-)+\int_{t=0^-}^{\infty}…
維廷格函數不等式
數學上，實函數的維廷格不等式是傅里叶分析中的一條不等式，得名於。1904 年，其用作證明等周不等式。若干相關變式也稱作維廷格不等式。 定理 第一形式 設 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 為週期 2π 的周期函数，其在 R 上連續，並有連續導數，且滿足 :\int_0^{2\pi}f(x) \, dx = 0. 則 :\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx \ge \int_0^{2\pi}f^2…
三乘积法则
三乘积法则（triple product rule）是关于偏导数的一个恒等关系式，其表达式为： :\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1. ::注释：每一个变量可视作另外两个变量的函数。偏导数的下标表示在…
皮亚诺存在性定理
在数学中, 特别是在常微分方程的研究中，皮亚诺存在定理（又称为皮亚诺定理、柯西-皮亚诺定理）是以数学家朱塞佩·皮亚诺的名字命名的一个定理。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保证了微分方程在一定的初始条件下的解的存在性。 历史 这个定理最早由数学家朱塞佩·皮亚诺在1886年发表，但是他给出的证明是错误的。1890年他又发表了一个正确的运用逐次逼近法的证明。 定理 设 D 为R × R 的一个开子集，以及一个连续函数： :f\col…
微分的線性
在微积分中，函数的任何线性组合的导数等于函数的导数的相同线性组合，此属性称为微分的线性（linearity of differentiation）、线性法则（rule of linearity）、或微分的叠加法则。导数的基本属性是将两个简单的微分法则封装在一起：求和法则（两个函数之和的导数是导数的和）和常数法则（函數的常數倍的導數是該函數的導數的常數倍）。因此，可以说微分作用是线性的，或者微分算子是线性的算子。 說明 設 和 為函數，同…
亥姆霍兹分解
在物理学和数学中的向量分析中，亥姆霍兹定理， 或称向量分析基本定理， 指出对于任意足够光滑、快速衰减的三维向量场可分解为一个无旋向量场和一个螺线向量场的和，这个过程被称作亥姆霍兹分解。此定理以物理學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲為名。 这意味着任何矢量场 ，都可以视为两个势场（純量勢 和向量勢 ）之和。 定理內容 假定 為定義在有界區域 裡的二次連續可微向量場，且 為 的包圍面，則 可被分解成無旋度及無散度兩部份： :\mathbf{F}=-\…
貝西科維奇覆蓋定理
數學上，貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的維數。 定理敘述 若\mathcal F是\mathbb R^n中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即 ::\sup\{\mathrm{rad}(B):B\in\mathcal F\} 而A為當中的球的中…