在数学中，相伴数列定理涉及实数列，它指出相伴数列收敛于同一极限。
定义
如果两个实数列 (a_n) 和 (b_n) 一个单调递增无上界，一个单调递减无下界，且二者的差值趋近于0，那么称这两个实数列是相伴数列。
先假设数列 (a_n) 是单调递增的，数列 (b_n) 是单调递减的。
; 注意到
: 有：\forall p,q \in \mathbb{Z}, a_p ；特别的，\forall n \in \mathbb{Z}, a_n
叙述
{{Math theorem
| math_statement = 假设 a_n 和 b_n 是一对相伴数列，那么它们收敛于同一极限 ℓ ∈ ℝ。
此外，令 a_n 单调递增，b_n 单调递减，那么 \forall
n \in \mathbb{N} , a_n
| name = 相伴数列定理
}}
这个定理可以以如下方式证明：在实数域中，单增有上界的数列必然收敛，这是由最小上界性（非空有上界的实数集必有上确界）给出的。因此，如果在有理数集中寻找有理极限，这个定理不成立。
甚至可以证明，这一性质与上确界性等价（见条目实数的构造）。与单增有上界的数列的性质相比，其优势不仅仅在于证明了数列的收敛性，更在于提供了一个想要的框架。
证明
由a_n单调递增，b_n单调递减，则可以得到a_n-b_n单调递增
二者的差值趋近于0，于是有\lim_{n\rightarrow+\infty}(a_n-b_n)=0, 所以a_n-b_n\leq0
又因为a_n单调递增，b_n单调递减，a_0\leq a_n\leq b_n\leq b_0
由单调收敛定理，可以知道a_n和b_n极限必然存在
由极限的四则运算lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=lim_{n\rightarrow+\infty}(a_n-b_n)+lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=lim_{n\rightarrow+\infty}b_n
应用
在所有使用二分法的问题中，在实数的十进制展开中，在连分数的书写中以及求积问题（圆的求积、抛物线的求积）问题中，都可以找到相伴数列定理的存在。
两个数列 (a_n) 和 (b_n) 是相伴数列，当且仅当由 u_{2k}=b_k - a_k 和 u_{2k+1}=b_{k+1} - a_k 定义的数列 (u_n) 符号恒定、绝对值严格单调递减且趋近于零；换言之，当通项为 (-1)^nu_n 的数列满足交错级数的收敛原则时，两个数列 (a_n) 和 (b_n) 是相伴数列。因此，莱布尼茨关于这种特殊的交错级数的审敛法等价于相伴数列定理。
注释
參見
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