阿基米德中點定理
阿基米德中點定理（），又稱為阿基米德折弦定理，是一個關於圓的定理。若一個圓上有兩點A,B，M為弧\overset{\frown}{AB}的中點，隨意選擇圓上的一點C，再選\overline{AC}上一點D使得\overline{MD}垂直\overline{AC}。若M、C分別在\overset{\frown}{AB}异侧，则\overline{AD}=\overline{CD}-\overline{BC}；若M、C皆在\overset…
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共 47 篇文章
托勒密定理
在数学中，托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形为圆内接四边形，兩組和相同。或退化为直线以取得（这时也称为欧拉定理）。 狭义的托勒密定理也可以叙述为：若且仅若圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上也可以看做一种判定圆内接四边形的方法。 证明 几何证明 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆…
皮克定理
給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積 A 和內部格點數目 i 、邊上格點數目 b 的關係：A = i + \frac {b}{2} - 1。 證明 因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形 P ，及跟 P 有一條共同邊的三角形 T 。若 P 符合皮克公式，則只要證明 P 加上 T 的 PT 亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對…
开世定理
在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。 叙述 开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为\,R 的一个圆\,O，圆内又有四个圆\,O_1, O_2, O_3, O_4 内切于圆\,O（如右图）。如果将圆\,O_i, O_j 的外公切线的长度设为\,t_{ij}，那么开世定理声称，有下列等式成立。 :\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} …
沙普利-福克曼引理
為沙普利-福克曼引理的例證。在左邊，四個非凸集中的點(+)之和，就是右邊，其閔氏和凸包中的點(+)。左邊四點之中，有兩點位於相應的非凸集中，另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點（以紅點表示）。]] 沙普利-福克曼引理是的一條引理，其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數0和1組成的集合，與自身相加，…
斯图尔特定理
斯图尔特定理（），，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明： 在三角形ABC的邊BC上任意取一點P，則： :\overline{PC} \ \overline{AB}^2 + \overline{PB} \ \overline{AC}^2 = (\overline{PB} + \overline{PC}) (\overline{PA}^2+\overline{PB} \ \overline{PC})。 該定理由蘇格蘭數學家在1746年發表。這個…
塞瓦定理
塞瓦線，或稱為賽瓦線段是三角形各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理（）指出：如果\triangle ABC的塞瓦線段\overline{AD} 、\overline{BE}、\overline{CF} 通过同一点O，则 :\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} \cdot \frac{\overli…
古爾丁定理
古爾丁定理（），最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀又重新發現了這個定理。 表面積 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積A，等於曲線的長度s乘以曲線的幾何中心經過的距離d_1：A=s d_1。 例：設環面圓管半徑為r，圓管中心到環面中心距離為R，把環面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心。所以環面表面積為(2\pi r) (2\pi R) = 4 \pi^2 r R 若有…
尼文定理
尼文定理（Niven's theorem）说的是，在 0~90° 范围内，如果正弦函数 sin 的自变量和因变量都要求是有理数，那么答案只有： :\sin0^\circ=0 。 :\sin30^\circ=\frac12 。 :\sin90^\circ=1 。 若用弧度表示，需在0\leq \mathit x\leq \frac{\mathrm \pi}{2}的範圍內，且要求\frac{\mathit x}{\pi}及\sin\math…
笛沙格定理
笛沙格定理（）說明：在射影空間中，有六點A、B、C、a、b、c。Aa、Bb、Cc共點若且唯若AB∩ab、BC∩bc、CA∩ca共线。 在射影幾何的對偶性來看，笛沙格定理是自對偶的。 证明 笛沙格定理可以表述如下： :如果A.a，B.b，C.c共点，则 :(A.B)∩(a.b)，(A.C)∩(a.c)，(B.C)∩(b.c)共线。 利用向量积、数量积和三重积，笛沙格定理也可以表述为： 如果 : \langle A \times a, B …
祖暅原理
祖原理，又名等幂等积定理，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《綴術》有-{云}-：「緣冪勢既同，則積不容異。」 该原理最早由中国古代数学家刘徽提出，兩父子用这原理求出牟合方盖体积，进而算出球体积。17世纪欧洲意大利数学家卡瓦列里亦發現相同定理，所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理。 在現代的解析幾何和測度應用中，祖暅原理是富比尼定理的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明，只發表在1635年的Ge…
施泰纳-莱穆斯定理
施泰纳-莱穆斯定理（Steiner–Lehmus theorem）是平面几何的一个定理：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见，但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明，随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家和瑞士数学家命名，两人在通信中最早提出和解决了该问题。 施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。 历史 在平面几何中，“等腰…
垂径定理
垂徑定理（）是一種常用的幾何學的定理。 定理定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 知二推三 一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为“知二推三”。 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是平分弦所对的两条弧） 平分弦（不是直径） 垂直于弦 * 经过圆心 圖解 垂直于弦（AC）的直径（BE）平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧（\overset{\frown} {AC}…
角平分線定理
（内）角平分線定理是一個平面幾何定理：三角形一角的内角平分線分割对边为两段，两段的长度之比等于两条邻边的长度之比。反过来，有（内）角平分线逆定理：把三角形一边分割为长度之比等于邻边长度之比的两段，则经过分割点与对角顶点的直线为对角的内角平分线。以上两条定理见于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，属于平面几何最基本的定理之列。 类似地，存在外角平分線定理和外角平分线逆定理。前者指的是：三角形一角的外角平分線与对边所在的直线相交，交点到对边…
密克定理
密克定理（）是几何学中關於相交圆的定理。1838年，密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。 定理陳述 三圓定理：設三個圓C_1, C_2, C_3交於一點O，而M, N, P分別是C_1 和C_2, C_2和C_3, C_3和C_1的另一交點。設A為C_1的點，直線MA交C_2於B，直線PA交C_3於C。那麼B, N, C這三點共線。 逆定理：如果\triangle ABC是三角形，M, N, P三點分別在邊AB, B…
披薩定理
{{about|几何学定理|对-{zh-cn:五角大楼;zh-tw:五角大廈;zh-hk:五角大樓;}-活动的推测|五角大楼披萨理论-{zh-cn:五角大楼;zh-tw:五角大廈;zh-hk:五角大樓;}-披萨理论}} 披薩定理是平面几何学之中的一个定理。它指出，如果以圆盘中任意一个指定點為中心，切下刀，使相邻的两刀隔的角度相同；然后按顺时针（或逆时针）的顺序给切出的各块交替染上两种颜色，将圆盘分为两个部分。那么有下列結論： 当是大于2…
海伦公式
-{zh-cn:海伦公式;zh-hk:希羅公式;zh-tw:海龍公式}-（），又譯希罗公式。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集，该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。 假設有一個三角形，邊長分別為a, b ,c ，三角形的面積A可由以下公式求得： :…
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem），以古希腊数学家為名。它指出：如果一直线与\triangle ABC的边BC、CA、AB或其延長線分别交于L、M、N，则有： : \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1。 它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在\triangle ABC的边BC、CA、AB或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足 : \fr…
卡諾定理 (內切圓、外接圓)
设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为 :OO_A+OO_B+OO_C=R+r， 其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理（），以拉扎尔·卡诺為名。 引理 在\triangle ABC中，R為\triangle ABC之外接圓半徑，且r為\triangle ABC之內切圓半徑，則 :r=4R\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2}) 證明 假…
芬斯勒-哈德維格爾定理
芬斯勒–哈德維格爾定理（Finsler-Hadwiger Theorem）說明：若兩個正方形ABCD和AB'C'D'擁有同一個頂點A。B'D的中點、BD'的中點、ABCD的中心和AB'C'D'的中心將組成一個正方形。 相關條目 黑盒 图灵机 图灵归约 交互式证明系统 隨機預言機 外部連結 [https://web.archive.org/web/20060317112152/http://www.jimloy.com/cindy/fin…