帕斯卡定理
帕斯卡定理指圆锥曲线的内接六边形其三条对边的交点共线。它与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。（當這個圓錐曲線退化成兩條直線時，帕斯卡定理就會變成帕普斯定理） 该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出但並未證明，是射影几何中的一个重要定理。 证明 圆 如图，如果圆锥曲线是一圆，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K。 延长AB、CD、EF，分别交直线CD…
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布列安桑定理
设ABCDEF为圆锥曲线的外切六边形。则直线AD，BE和CF三线共点。这个定理叫做布列安桑定理。 布列安桑定理的对偶定理是帕斯卡定理。 参见 帕斯卡定理 帕普斯定理 *笛沙格定理
牛顿定理 (平面几何)
EF上。]] 在欧几里得几何中，牛顿定理指出除了菱形在任何圆外切四边形中内切圆的圆心在在牛顿线上。 换句话说，就是任意圆外切四边形的内心、两条双中线交点、两个对角线中点，这四点共线，称为牛顿线。如果圆外切四边形是圆外切梯形，内心与双中线交点重合，这三点共线，牛顿线与梯形中位线重合；如果圆外切四边形是菱形，这四点重合，牛顿线不存在。 如右图，假设四边形ABCD是圆外切四边形，且最多有一对平行的边，然后假设点E和点F是对角线AC、DB的中点…
西姆松定理
西姆松定理（或譯西摩松定理、西姆森定理）是幾何學中的一個定理，此定理描述：在平面中，給定一個三角形 ABC，以及 \triangle ABC 外接圓上的一點P。則 P 分別對直線 \overleftrightarrow{AB}、\overleftrightarrow{BC}、\overleftrightarrow{CA} 作的三個垂足（右圖中的 N、L、M）會共線。 上述中的直線 \overleftrightarrow{MNL} 稱為 …
弦切角定理
弦切角定理（）指出，弦切角等于它所夹弧对应的圆周角。 证明 已知:線段AB与\odot O相切，弦切角\angle BAC所夹的弧是 \overset{\frown} {AC}，\angle P是 \overset{\frown} {AC}所对的圆周角。 求证: \angle BAC=\angle P 证明: （1）当圆心\mathit{O}在\angle BAC的AC上时，如图1. :∵\mathit{AB}与圆\mathit{O}相…
泰勒斯定理
泰勒斯定理（）以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若A, B, C是圆周上的三點，且AC是该圆的直徑，那么\angle ABC必然為直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明。 泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。 證明 证法一 以下證明主要使用兩個定理： 三角形的內角和等於180° 等腰三角形的兩個底角相等 設O為圓心，因為OA…
歐拉旋轉定理
在運動學裏，歐拉旋轉定理（）表明，在三維空間裏，假設一個剛體在做一個位移的時候，剛體內部至少有一點固定不動，則此位移等價於一個繞著包含那固定點的固定軸的旋轉。這定理是以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉命名。於1775年，歐拉使用簡單的幾何論述證明了這定理。 用數學術語，在三維空間內，任何共原點的兩個座標系之間的關係，是一個繞著包含原點的固定軸的旋轉。這也意味著，兩個旋轉矩陣的乘積還是旋轉矩陣。一個不是單位矩陣的旋轉矩陣必有一個實值的本徵值，而這…
帕普斯定理
设U，V，W，X，Y和Z为平面上6条直线。如果： （1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且 （2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线， 则一定有（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理（）。 也就是说， 如果 : \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle = 0 且 : \langle U \times Z, X …
张角定理
张角定理，是平面幾何學的一個定理，指任意三角形ABC中，D是边BC（包括端点）上的点，连接AD，则 :\frac{\sin \angle BAD}{\overline{AC}}+\frac{\sin \angle CAD}{\overline{AB}}=\frac{\sin \angle BAC}{\overline{AD}} 其逆定理亦成立。 证明 由兩個小三角形面积和等於大三角形面積，得到如下等式： :\frac{1}{2} (\o…
正弦定理
正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意\triangle ABC，a、b、c分别为\angle A、\angle B、\angle C的对边，R为\triangle ABC的外接圆半径，则有 \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R 證明 法一 做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。从角C向c边做垂线，得…
角平分线长公式
在平面几何中，角平分線長公式是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形 \triangle{ABC} 中，\angle A 的内角平分線交对边 BC 于点 D ，外角平分線交直线 BC 于点 E ，则三角形的内、外角平分線的长度为： :AD=\sqrt{AB \cdot AC - DB \cdot DC} :AE=\sqrt{EB \cdot EC - AB \cdot AC} 若记 BC 边长为 a ，AC 边长为 b ，AB 边…
九点圆定理
九点圆定理指出：在平面中，對所有三角形，其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點，必然共圆，这个圆被称为九點圓，又称歐拉圓、費爾巴哈圓。 九點圓具有以下性質： 九點圓的半徑是外接圓的一半。 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。 。 歷史 1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓…
歐拉線
在平面几何中，欧拉线，或稱尤拉線（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉，也稱尤拉，证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。 证明 如图H,G,O分别是{\triangle}ABC的垂心，重心，外心。 設D為直線BO和{\triangl…
正切定理
正切定理是三角学中的一个定理。根据该定理，在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即： : \frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha +\beta }{2}} : \frac…
婆羅摩笈多定理
婆罗摩笈多定理指出：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线將平分对边。婆罗摩笈多是印度数学家。 证明 :因为\angle AMF = \angle EMC = \angle MBC = \angle MAD :所以 AF = MF :\angle FMD = 90^\circ - \angle AMF = 90^\circ -\angle MAD = \angle FDM :因此 MF = DF :AF = M…
欧拉定理 (几何)
在平面几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离d 可表示为 : d^2=R (R-2r) \, 其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。 从欧拉定理可推出欧拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)： :R ≥ 2r. 证明 (1)當d=0時，表示外心O與內心I重合，此時易證三角形\displaystyle ABC為正三角形，且R=2r，因此\displaystyle d^2=R (R-2r) 。 (2)當d大於0時，請參考右下圖：…
蝴蝶定理
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的几何图形象一只蝴蝶，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。 最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是…
罗斯定理
在几何学中，罗斯定理是关于三角形面积的一个定理。给定一个三角形，在它的三边上各取一点，并和对面的顶点相连。三条连线将会在三角形中央围出一个新的小三角形。罗斯定理给出了这个新三角形的面积与三角形边上三个点的位置的关系。罗斯定理可以看成是塞瓦定理的一种推广。 历史 这个定理最早由爱德华·约翰·罗斯于1896年在其著作《论解析静力学及例子》一书的第82页中提出。当 x = y = z = 2时，结论就是所谓的七分三角形。 定理描述 设有一个三…
拿破侖定理
拿破仑定理是拿破仑发现的平面几何定理：“以任意三角形各边为边分别向外侧作正三角形，则它们的中心(三心)連線必构成一个正三角形。”該正三角形稱為拿破仑三角形。如果向内作三角形结论同样成立。 证明 为外侧任意两个正三角形作外接圆，其两圆有2个交点，其中一个交点为中间三角形的顶点，设另外一个交点为O，并连接O与中间三角形的另外两个顶点，因为O在两圆上，所以\angle AOB=\angle AOC=\angle COB=120^\circ 因…
莫雷角三分線定理
在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。 此定理沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。 證明 引理 由三倍角公式及和差公式可得出： :\sin3\theta \equiv 4\sin\…