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莫雷角三分線定理

Wikipedia · 2023-10-29 维基百科 👁 1 阅读

在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。

此定理沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。

證明
引理
由三倍角公式及和差公式可得出：
:\sin3\theta \equiv 4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)
引理證明
:\sin3\theta = 3\sin\theta-4\sin^3\theta
:= \sin\theta(3-4\sin^2\theta)= \sin\theta(3\cos^2\theta-\sin^2\theta)
:= \sin\theta(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)(\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta)
:= 4\sin\theta(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\tfrac{1}{2}\sin\theta)(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta-\tfrac{1}{2}\sin\theta)
:= 4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)

定理證明
在\triangle ABC中：
:\alpha是\angle A的三等分角
:\beta是\angle B的三等分角
:\gamma是\angle C的三等分角

作6條角三分線分別為\overline{BX}、\overline{XC}、\overline{CY}、\overline{YA}、\overline{AZ}、\overline{ZB}，作D、E、F在\overline{BC}上，且\overline{BC}\bot\overline{XD}、\angle BXE = \angle CXF = 60^\circ

容易得出\alpha+\beta+\gamma = 60^\circ，由此等式還可以得出以下三式：
:\angle BXC = 120^\circ+\alpha
:\angle CYA = 120^\circ+\beta
:\angle AZB = 120^\circ+\gamma

由正弦定理可得出：
:\sin (120^\circ+\beta) = \frac{\overline{AC}\sin \gamma}{\overline{AY}}
:\sin (120^\circ+\gamma) = \frac{\overline{AB}\sin \beta}{\overline{AZ}}

從這裡可以得出\triangle XEF的三個內角，計算出\angle XEF和\angle XFE的正弦值：
:\angle EXF = \alpha
:\angle XEF = 60^\circ+\beta \Rightarrow \sin (60^\circ+\beta) = \tfrac{\overline{XD}}{\overline{XE}}
:\angle XFE = 60^\circ+\gamma \Rightarrow \sin (60^\circ+\gamma) = \tfrac{\overline{XD}}{\overline{XF}}

我們知道：
:\overline{AB}\sin 3\beta = \overline{AC}\sin 3\gamma

從引理我們可以得出：
:\overline{AB}4\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)\sin(120^\circ+\beta) = \overline{AC}4\sin\gamma\sin(60^\circ+\gamma)\sin(120^\circ+\gamma)
:\overline{AB}\sin\beta\frac{\overline{XD}}{\overline{XE}}\frac{\overline{AC}\sin \gamma}{\overline{AY}} = \overline{AC}\sin\gamma\frac{\overline{XD}}{\overline{XF}}\frac{\overline{AB}\sin \beta}{\overline{AZ}}

化簡後得出：
:\frac{\overline{XE}}{\overline{XF}} = \frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}} \Rightarrow \triangle XEF \approx \triangle AZY

因為\triangle XEF和\triangle AYZ相似，所以可得出：
:\angle AZY = \angle XEF = 60^\circ+\beta
:\angle AYZ = \angle XFE = 60^\circ+\gamma

同理可得出：
:\angle BZX = 60^\circ+\alpha
:\angle CYX = 60^\circ+\alpha

綜合以上結果，可得出\angle XZY = \angle XYZ = 60^\circ，因此\triangle XYZ是等邊三角形

推廣
更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表，將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°，其交點共可得出27個不同的等邊三角形。

參見
*三等分角
*三角恆等式

參考資料
*Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.

#三角形几何 #几何定理

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