角平分线长公式

在平面几何中，角平分線長公式是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形 \triangle{ABC} 中，\angle A 的内角平分線交对边 BC 于点 D ，外角平分線交直线 BC 于点 E ，则三角形的内、外角平分線的长度为：
:AD=\sqrt{AB \cdot AC - DB \cdot DC}
:AE=\sqrt{EB \cdot EC - AB \cdot AC}

若记 BC 边长为 a ，AC 边长为 b ，AB 边长为 c ，记内角平分線 AD 长为 t_a ，外角平分線 AE 长为 t_a' ，则三角形的内、外角平分線的长度可以表示为：

|-
|
:t_a=\sqrt{bc (1-{a^2 \over (b+c)^2})}
::={bc \over b+c} \sqrt{2+2\cos A}
::={2bc \over b+c}\cdot \cos{A \over 2}
|
:t_a'=\sqrt{bc ({a^2 \over (b-c)^2}-1)}
::={bc \over |b-c|} \sqrt{2-2\cos A}
::={2bc \over |b-c|}\cdot \sin{A \over 2}
|}

证明
内角平分线长
作 \angle A 的内角平分線交对边 BC 于点 D 。延长 \overline {AD} 至点 E ，使 \angle AEB = \angle ACD 。
:\triangle AEB \sim \triangle ACD \Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC
:\triangle DEB \sim \triangle DCA \Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC
:AD^2=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC
得内角平分线长公式（i）：
:AD=\sqrt{AB \cdot AC - DB \cdot DC}
外角平分线长
作 \angle A 的外角平分線交直线 BC 于点 D' 。延长 \overline {D'A} 至点 E' ，使 \angle AE'B = \angle ACD' 。
:\triangle AE'B \sim \triangle ACD' \Rightarrow AE'\cdot AD'=AB\cdot AC
:\triangle D'E'B \sim \triangle D'CA \Rightarrow D'E'\cdot AD'=BD'\cdot D'C
:AD'^2=(D'E'-AE')\cdot AD'=D'E'\cdot AD'-AE'\cdot AD'=D'B\cdot D'C-AB\cdot AC
得外角平分线长公式（i）：

|-
|
:DB = {ac \over b+c}, \ DC = {ab \over b+c}
|
:D'B = {ac \over |b-c|}, \ D'C = {ab \over |b-c|}
|}

代入式（i），得到角平分线长公式（ii）：

|-
|
:t_a={2bc \over b+c}\cdot \cos{A \over 2}
|
:t_a'={2bc \over |b-c|}\cdot \sin{A \over 2}
|}

与其他定理的关系
斯图尔特定理
角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况，或者说推论。根据斯图尔特定理，对于三角形 \triangle{ABC} 的任意一边 BC 上的任意一点 D ，有：
:AD^2 = AB^2 \cdot {DC \over BC} + AC^2 \cdot {DB \over BC} - DB \cdot DC
当点 D 是内角平分线足时，根据角平分线定理，有：
:{AB \over DB} = {AC \over DC} ={AB+AC \over BC}
联立之后，即可得到内角平分线长公式（i）或（ii）。同理，可以推出外角平分线长公式（i）或（ii）。

施泰纳-莱穆斯定理
利用角平分線長公式，可以证明施泰纳-莱穆斯定理——有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形。
:t_a=t_b \ \,\Rightarrow\ \,\sqrt{bc (1-{a^2 \over (b+c)^2})}=\sqrt{ac (1-{b^2 \over (a+c)^2})}
化简后得到： c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^2+ab)+3abc+c^3]=0

连乘的其他各项都为正数，从而推出： a-b=0

名称
在欧美，角平分線長公式没有特殊的名称。而在欧美，指的是等边三角形外接圆的一个性质，与三角形角平分线无关。

參見
*中線長公式
*角平分線定理

参考文献