歐拉線

在平面几何中，欧拉线，或稱尤拉線（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉，也稱尤拉，证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。

证明
如图H,G,O分别是{\triangle}ABC的垂心，重心，外心。

設D為直線BO和{\triangle}ABC外接圆的交點，並连结AH,AD,CD,CH。

（1）
{\because\quad}BD是直徑，{\therefore\quad}CD{\perp}BC且AD{\perp}AB。

又H是垂心，{\therefore\quad}AH{\perp}BC且CH{\perp}AB。

{\therefore\quad}CD // AH，AD // CH。

ADCH为平行四边形。

->AH=DC

又O,\;M分别是BD,\;CB的中点，

{\therefore\quad}DC=2OM，
AH=2OM

（2）
作BC边上的中线AM,连结OM,\;OH

设OH交AM于点G'

{\because\quad}OM{\perp}BC,\;{\triangle}AHG'{\sim\triangle}MOG',\;AH=DC=2OM，

{\therefore\quad}AG'=2G'M，

{\therefore\quad}G'即\triangle ABC的重心G

\therefore\quad\triangle ABC的垂心H,重心G,外心O三点共线,直线HGO即欧拉线

推论
九点圆的圆心也在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点

如图，H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三边中点I i，三高的垂足Hi，和顶点到垂心的三条线段的中点J i

令HΩ和J1I1的交点为K，∵BΩ=CΩ，BI1=CI1，∴ΩI1⊥BC，又∵AH1⊥BC，∴ΩI1∥AH1。

∵∠GΩI1=∠AHG，∠GAH=∠GI1Ω，∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1，∴AH=2ΩI1，即ΩI1=J1H。

∵ΩI1∥AH1， J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。

同理J2K=KI2， J3K=KI3。 可知K为九点圆圆心。

∵点K在HΩ上，HK = KΩ

∴九点圆圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。

参考资料
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外部链接

• [http://www.cut-the-knot.org/triangle/altEuler.shtml Altitudes and the Euler Line]
• [http://www.cut-the-knot.org/triangle/EulerLine.shtml Euler Line and 9-Point Circle]