蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的几何图形象一只蝴蝶，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。

该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：

M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。

圆可以改为任意圆锥曲线。

将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， M \,不为中点时满足: {1 \over MY}-{1 \over MX} = {1 \over MQ}-{1 \over MP} ,这对2，3均成立。

证明
从X\,向AM\,和DM\,作垂线，设垂足分别为X'\,和X\,。类似地，从Y\,向BM\,和CM\,作垂线，设垂足分别为Y'\,和Y\,。

现在，由于
:: \triangle MXX' \sim \triangle MYY',\,
: {MX \over MY} = {XX' \over YY'},

:: \triangle MXX \sim \triangle MYY,\,
: {MX \over MY} = {XX \over YY},

:: \triangle AXX' \sim \triangle CYY*,\,
: {XX' \over YY*} = {AX \over CY},

:: \triangle DXX* \sim \triangle BYY',\,
: {XX* \over YY'} = {DX \over BY},

从这些等式，可以很容易看出：

: \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } {XX \over YY},

: {} = {AX.DX \over CY.BY},

: {} = {PX.QX \over PY.QY},

: {} = {(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},

由于PM \, = MQ \,

现在，

: { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}.

因此，我们得出结论：
MX = MY \,，也就是说，M \,是XY \,的中点。

证毕。