西姆松定理

西姆松定理（或譯西摩松定理、西姆森定理）是幾何學中的一個定理，此定理描述：在平面中，給定一個三角形 ABC，以及 \triangle ABC 外接圓上的一點P。則 P 分別對直線 \overleftrightarrow{AB}、\overleftrightarrow{BC}、\overleftrightarrow{CA} 作的三個垂足（右圖中的 N、L、M）會共線。

上述中的直線 \overleftrightarrow{MNL} 稱為 \triangle ABC 關於 P 點的西姆松線（），或譯西摩松線、西姆森線。

逆定理
西姆松定理的逆敘述也是正確的，其描述：給定平面中的 \triangle ABC 及一點 P。若 P 對 \triangle ABC 三邊延長線的三個垂足共線，則 P 在 \triangle ABC 的外接圓上。

相關性質

• 令 \triangle ABC 的垂心為H。則 \triangle ABC 關於 P 的西姆松線和 \overline{PH} 的交點為 \overline{PH} 的中點，且此中點在九點圓上。
• 兩點的西姆松線的交角等於該兩點的圓周角。
• 若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

西姆松定理與西姆松的關係
西姆松定理命名自蘇格蘭數學家 Robert Simson，然而西姆松是被誤認為定理的貢獻者，此定理實則由另一位蘇格蘭數學家威廉·華萊士所發表。

证明
如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆，则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三点共线。

参见
*外接圓
*九点圆
*垂足三角形

外部連結

• [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson.shtml cut-the-knot網站上的證明]
• [http://agutie.homestead.com/files/simsontheorem1.html 證明（flash）]

參考資料