九点圆定理指出：在平面中，對所有三角形，其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點，必然共圆，这个圆被称为九點圓，又称歐拉圓、費爾巴哈圓。
九點圓具有以下性質：
*九點圓的半徑是外接圓的一半。
*圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。
*九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。
*。
歷史
1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。柯立芝與大上茂喬（Shigetaka Ooue）分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。
九點圓证明
如圖：D、E、F為三邊的中點，G、H、I為垂足，J、K、L為和頂點到垂心的三條線段的中點。
*容易得出 \triangle ABS \sim \triangle AFJ 、 \triangle CBS \sim \triangle CDL （SAS相似）
*因此\overline{FJ} // \overline{BH} // \overline{DL}
*同樣可得出 \triangle ABC \sim \triangle FBD 、 \triangle ASC \sim \triangle JSL （SAS相似）
*因此\overline{FD} // \overline{AC} // \overline{JL}
*又\overline{BH} \perp \overline{AC}，可得出四邊形DFJL是矩形（四點共圓）
*同理可證FKLE也是矩形（DKFJEL共圓）
*\angle JLD = \angle JGD = 90^\circ，因此可知G也在圓上（圓周角相等）
*同理可證H、I兩點也在圓上（九點共圓）
性質證明
九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
*在直角坐標系中，已知圓的方程為(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2，其中r為圓的半徑，(x_0,y_0)為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點(x_S,y_S)的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為：
::\left(x-\frac{x_0+x_S}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{y_0+y_S}{2}\right)^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2
*設r為外接圓的半徑、(x_0,y_0)為外接圓的圓心坐標、點(x_S,y_S)為垂心坐標。
*已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
*同時還可以得出下面的性質：
*圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為
\left (\frac{\begin{vmatrix}x_1^2+y_1^2-2\left ( x_2x_3 + y_2y_3 \right ) & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2-2\left ( x_3x_1 + y_3y_1 \right ) & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2-2\left ( x_1x_2 + y_1y_2 \right ) & y_3 & 1\\ \end{vmatrix}}{4\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}},\frac{\begin{vmatrix}x_1 & x_1^2+y_1^2-2\left ( x_2x_3 + y_2y_3 \right ) & 1\\ x_2 & x_2^2+y_2^2-2\left ( x_3x_1 + y_3y_1 \right ) & 1\\ x_3 & x_3^2+y_3^2-2\left ( x_1x_2 + y_1y_2 \right ) & 1\\ \end{vmatrix}}{4\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}}
\right )
*九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。
**'
*圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。
其他
*垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的
*主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
*中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
*三線坐標中，九點圓的座標為\cos(B-C)\,:\,\cos(C-A)\,:\,\cos(A-B)
*三線坐標中，費爾巴哈點的座標為1-\cos(B-C)\,:\,1-\cos(C-A)\,:\,1-\cos(A-B)
參見條目
*萊昂哈德·歐拉
*卡尔·威廉·費爾巴哈
參考資料
*幾何明珠 ISBN 957-603-197-4
*[https://web.archive.org/web/20040427081526/http://hk.geocities.com/mathsworld2001/jsp/9ptcircle.htm]
*[http://ej0cl6.pixnet.net/blog/post/25644516 幾何寶庫]
*[http://www.mikekong.net/Maths/Sketches/9pt-circle.html]
*[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FeuerbachProof.shtml Feuerbach's Theorem: a Proof]
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