泰勒斯定理

泰勒斯定理（）以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若A, B, C是圆周上的三點，且AC是该圆的直徑，那么\angle ABC必然為直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明。

泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

證明
证法一
以下證明主要使用兩個定理：
*三角形的內角和等於180°
*等腰三角形的兩個底角相等

設O為圓心，因為OA=OB=OC，所以\bigtriangleup OAB和\bigtriangleup OBC都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等，故有\angle OBC=\angle OCB，且\angle BAO=\angle ABO。設\alpha=\angle BAO，\beta=\angle OBC。在\bigtriangleup ABC中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

:\alpha+\left( \alpha + \beta \right) + \beta = 180^\circ

:{2}\alpha + {2}\beta =180^\circ

:{2}( \alpha + \beta ) =180^\circ

:\therefore \angle ABC = \alpha + \beta =90^\circ.

证法二
泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令O=(0,0), A=(-1,0), C=(1,0)。此时，B就是单位圆(\cos \theta, \sin \theta)上的一点。我们将通过证明AB与BC垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算AB和BC的斜率：

:m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1}

:m_{BC} = \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}

并证明它们的积等于–1:

:\begin{align}
&m_{AB} \cdot m_{BC}\\
=&\frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}\\
=&\frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta -1}\\
=&\frac{\sin ^2 \theta}{-\sin ^2 \theta}\\
=&-1
\end{align}

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1。

逆定理的證明
此證明使用兩線的向量形成直角三角形，若且唯若其內積為零。設有直角三角形ABC，和以AC為直徑的圓O。設O在原點，以方便計算。则AB和BC的內積為：
:(A-B)\cdot (B-C)=(A-B) \cdot (B+A)=|A|^2-|B|^2=0
:|A|=|B|

故A和B與圓心等距，即B在圆上。

一般化以及有关定理
泰勒斯定理是「同弧所对的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

:如果AC是一个圆的直径，则：
: 若B*在圆内，则\angle ABC>90^\circ
: 若B*在圆上，则\angle ABC=90^\circ
: 若B*在圆外，则\angle ABC

歷史
泰勒斯並非此定理的首名發現者，古埃及人和巴比倫人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。

参考文献