披薩定理

{{about|几何学定理|对-{zh-cn:五角大楼;zh-tw:五角大廈;zh-hk:五角大樓;}-活动的推测|五角大楼披萨理论-{zh-cn:五角大楼;zh-tw:五角大廈;zh-hk:五角大樓;}-披萨理论}}

披薩定理是平面几何学之中的一个定理。它指出，如果以圆盘中任意一个指定點為中心，切下刀，使相邻的两刀隔的角度相同；然后按顺时针（或逆时针）的顺序给切出的各块交替染上两种颜色，将圆盘分为两个部分。那么有下列結論：

• 当是大于2的偶数（ = 4,6,8,10,12,14,..），或有任一刀通過圓心时：两种颜色的部分面积一样大。
• 若任意一刀都不通過圓心，那么：

** 当 = 1,2或除以4余3（ = 1,2,3,7,11,15,..）的时候，包含圓心的部分面积比较大。
** 当大于4且除以4余1（ = 5,9,13,..）的时候，包含圓心的部分面积比较小。

这个定理之所以被称为披萨定理，是因为其中分割圆盘的方式类似于分披萨的过程。这个定理可以说明，当两个人用以上的方法分披萨的时候，谁能拿到更多的披萨。

历史
披萨定理首先是作为一个数学难题在1967年的《数学杂志》上提出的，问题序号为660。提出此问题的人是L.J.厄普顿。
{{quote|在一个圆盘中指定一个点，并过这一点切刀，每切一刀转过的角度都相等（等于\scriptstyle \frac{\pi}{N}），然后按照顺时针顺序，将切成的2块区域交替染成两种颜色。问两种颜色部分的面积大小关系。}}

厄普顿首先说明了切两刀时的情况，然后要求证明：切4刀的时候两部分的面积是一样的。1968年，《数学杂志》上登载了迈克尔·哥德堡对问题660的解答。解答中不仅解决了切4刀的问题，还解决了偶数刀时的情况。

1994年，拉里·卡特和斯丹·瓦根用割补法对切4刀的问题给出了一个直观的图解证明。他们的文章中还提到，堂·科波史密斯曾经利用圆周率的超越性证明了切奇数刀的时候，两个部分面积不等，但没有给出更进一步的结果。同年，卡特、瓦根和约翰·邓肯在《数学杂志》上提出切3刀和切5刀的问题。

1995年，保罗·迪尔曼和里克·马布里在《数学杂志》上登载了3刀和5刀的解答，同时提出任意奇数刀的问题，邀请读者解决。2009年，保罗·迪尔曼和里克·马布里最终解决了奇数刀时的情况，至此披萨问题完全解决。

不失一般性，设圆盘的半径是1。于是圆盘的面积等于12 = 。设最初的定点是。不妨假设在圆心的右上方。以为原点建立极坐标系，设向量的角度是（右图蓝色角）。记\scriptstyle \alpha = \frac{\pi}{N} 。设切刀时留下的分割线的长度分别是a_0, a_1, \cdots , a_{2N-1}（见右图），那么：
{{Quote box|title =引理 |tstyle = text-align: left;|quote = 对任意的，所有的平方和为定值： \sum_{i=0}^{N-1} a_{2i}^2 = N. |width = 40% |align = center |qalign=left}}

设在极坐标系中，圆上一点与点定义的直线和水平轴的夹角是，而记的长度是，那么
: a_i = r(\beta + i\alpha)
而“第一块”图形（右图中右上角的橙色部分）的面积是：
: S_1 = \frac12 \int_{\beta}^{\beta + \alpha} r^2 (\theta) \rm{d} \theta
“第二块”图形（右上角偏上的绿色部分）的面积是：S_2 = \frac12 \int_{\beta + \alpha}^{\beta + 2\alpha} r^2 (\theta) \rm{d} \theta，“第块”图形的面积是
S_i = \frac12 \int_{\beta + (i-1) \alpha}^{\beta + i\alpha} r^2 (\theta) \rm{d} \theta

橙色部分的总面积是：
:S_{r} = S_1 + S_3 + \cdots + S_{2N-1}
::= \frac12 \int_{\beta}^{\beta + \alpha} r^2 (\theta) \rm{d} \theta + \frac12 \int_{\beta+ 2\alpha}^{\beta + 3\alpha} r^2 (\theta) \rm{d} \theta + \cdots + \frac12 \int_{\beta+ (2N-2)\alpha}^{\beta + (2N-1)\alpha} r^2 (\theta) \rm{d} \theta

:: = \frac12 \int_{0}^{\alpha} r^2 (\beta + \theta) \rm{d} \theta + \frac12 \int_{0}^{\alpha} r^2 (\beta + 2\alpha + \theta) \rm{d} \theta + \cdots + \frac12 \int_{0}^{\alpha} r^2 (\beta+ (2N-2)\alpha + \theta) \rm{d} \theta
::= \frac12 \int_{0}^{\alpha} \left(\sum_{i=0}^{N-1} r^2 (\beta + \theta + 2i\alpha ) \right)\rm{d} \theta
注意到对每个固定的，设 = ，再对应用引理，就有：
:\sum_{i=0}^{N-1} r^2 (\beta + \theta + 2i\alpha ) = N
因此
:S_{r} = \frac12 \int_{0}^{\alpha} N \rm{d} \theta = \frac{N\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}
也就是说，橙色部分的面积是圆盘面积的一半。所以两种颜色的面积相等。

等边长切法
如果切披萨的时候不是按照固定的角度，而是按照切下固定的边长（\frac{ \pi}{N}弧度角）来分披萨，那么两部分的面积是否相等呢？答案是肯定的。无论切的刀数是偶数还是奇数，两个部分的面积都一样。这时两个人分到的披萨和披萨边都一定是一样多的了。

参考来源
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外部連結
*[http://www.matrix67.com/blog/archives/2946 也说Pizza问题：分享几个漂亮的证明]