給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積 A 和內部格點數目 i 、邊上格點數目 b 的關係：A = i + \frac {b}{2} - 1。
證明
因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形 P ，及跟 P 有一條共同邊的三角形 T 。若 P 符合皮克公式，則只要證明 P 加上 T 的 PT 亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。
多邊形
設 P 和 T 的共同邊上有 c 個格點。
- P 的面積： i_{P} + \frac {b_{P}}{2} - 1
- T 的面積： i_{T} + \frac{b_{T}}{2} - 1
- PT 的面積：
: (i_{T} + i_{P} + c - 2) + \frac{b_{T}- c +2 + b_{P} - c + 2}{2} - 1
: = i_{PT} + \frac{b_{PT}}{2} - 1
三角形
證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：
所有平行於軸線的矩形；
以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；
所有三角形（因為它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。
矩形
設矩形 R 長邊短邊各有m,n個格點：
- A_{R} = (m-1)(n-1)
- i_{R} = (m-2)(n-2)
- b_{R} = 2(m+n)-4
: i_{R} + \frac{b_{R}}{2} - 1
: = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1
: = mn - (m + n) +1
: = (m-1)(n-1)
直角三角形
易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且 i , b 相等。設其斜邊上有 c 個格點。
- b = m+n+c-3
- i = \frac{(m-2)(n-2) - c + 2}{2}
: i + \frac{b}{2} - 1
: = \frac{(m-2)(n-2) - c + 2}{2} + \frac{m+n+c-3}{2} - 1
: = \frac{(m-2)(n-2)}{2} + \frac{m+n-3}{2}
: = \frac{(m-1)(n-1)}{2}
一般三角形
逆运用前面对2个多边形的证明：
既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 P 加上 T 的 PT 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。
于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。
推廣
- 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點，皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點，皮克定理則是A = 2 * i + b - 2。
- 對於非簡單的多邊形P，皮克定理A = i + \frac{b}{2} - \chi(P)，其中 \chi(P) 表示 P 的欧拉示性数。
- 高維推廣：Ehrhart多項式；一維：植樹問題。
- 皮克定理和歐拉公式（V-E+F=2）等價。
定理提出者
，1859年生於維也納，1943年死於特萊西恩施塔特集中營。
相關書籍
- 《格點和-{面}-積》 閔嗣鶴著
外部連結
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