梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem），以古希腊数学家為名。它指出：如果一直线与\triangle ABC的边BC、CA、AB或其延長線分别交于L、M、N，则有：

: \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1。

它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在\triangle ABC的边BC、CA、AB或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足

: \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1

则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
如果在上式中线段用有向线段表示，那么右面的结果为-1。

该定理与塞瓦定理的等式仅在条件上有所不同，二者互为对偶定理。

证明
面积法证明
如情况一，连接AL、CN，有

\frac{AN}{NB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MA}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle LNA}}{\mathrm{S}_{\triangle LNB}}\cdot\frac{\mathrm{S}_{\triangle LNB}}{\mathrm{S}_{\triangle LNC}}\cdot\frac{\mathrm{S}_{\triangle LNC}}{\mathrm{S}_{\triangle ANL}}=1

正弦定理证明
如情況一，设\angle ANM = \alpha，\angle AMN = \beta，\angle MLC = \gamma，則在\triangle AMN中由正弦定理，有

: \frac{AN}{AM} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha},

同理，因對頂角相等在\triangle NBL和\triangle CLM中有

: \frac{BL}{BN} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma},

及

: \frac{CM}{CL} = \frac{\sin \gamma}{\sin \beta}.

三式相乘即得

: \frac{AN}{AM} \cdot \frac{BL}{BN} \cdot \frac{CM}{CL} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} = 1,

即

: \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1.

历史
目前不确定是谁首先发现了梅涅劳斯定理。现存最早的关于定理的内容出现在梅涅劳斯的著作《球面三角学》中。在本书中，定理的平面版本被用作证明该定理的球形版本的引理。

在《天文学大成》中，托勒密将该定理应用于球形天文学中的许多问题。
在伊斯兰黄金时代，穆斯林学者投入了大量从事梅涅劳斯定理研究的著作，他们称之为“关于割线的命题”（shakl al-qatta'）。完全四边形在他们的术语中被称为“割线图”。比鲁尼的作品“天文学的钥匙”列出了其中的一些作品；这些作品都可被归类为托勒密的《天文学大成》内容的一部分，如al-Nayrizi和al-Khazin的作品，其中每个作品都展示了梅涅劳斯定理的特殊形式（如用角的正弦表示的等式），或作为独立论文组成的作品，例如：

塔比·伊本·库拉撰写的“关于割线图的论述”（Risala fi shakl al-qatta'）。
Abu Nasr ibn的《Tahdhib》。
Roshdi Rashed和Athanase Papadopoulos，Menelaus'Spherics的早期翻译和al-Mahani'/ al-Harawi的版本（来自阿拉伯手稿的Menelaus Spherics的重要版本，以及历史和数学评论）, De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages.

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