-{zh-cn:海伦公式;zh-hk:希羅公式;zh-tw:海龍公式}-（），又譯希罗公式。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集，该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。
假設有一個三角形，邊長分別為a, b ,c ，三角形的面積A可由以下公式求得：
:A=\sqrt{s (s-a)(s-b)(s-c)}，其中s=\frac{a+b+c}{2}
中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式，其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂併大斜幂，減中斜幂，餘半之，自乘於上；以小斜幂乘大斜幂，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。”若以大斜记为a，中斜记为b，小斜记为c，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：
:A=\sqrt{\frac1{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2 \right]}，其中a \ge b \ge c
像其他中國古代的數學家一样，他的方法沒有证明。根據现代數學家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相補原理得出。
由於任何n边的多邊形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明
利用三角公式和代数式变形来证明
与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a, b ,c 的对角分别为A, B ,C ，则余弦定理为
:\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
利用和平方、差平方、-{平方差}-等公式，从而有
:
\begin{align}
\sin C & = \sqrt{1-\cos^2 C} \\
& = \sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)} \\
& = \sqrt{\left( 1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) \left( 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)} \\
& = \sqrt{\left( \frac{2ab+(a^2+b^2-c^2)}{2ab} \right) \left( \frac{2ab-(a^2+b^2-c^2)}{2ab} \right)} \\
& = \sqrt{\left( \frac{(2ab+a^2+b^2)-c^2}{2ab} \right) \left( \frac{c^2-(a^2+b^2-2ab)}{2ab} \right)} \\
& = \sqrt{\left[ \frac{(a+b)^2-c^2}{2ab} \right] \left[ \frac{c^2-(a-b)^2}{2ab} \right]} \\
& = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab} \\
& = \frac{\sqrt{(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab} \\
& = \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}
\end{align}
:
\begin{align}
A & = \frac{1}{2}ab \sin C \\
& = \frac{ab}{2} \cdot \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}
利用勾股定理和代数式变形来证明
:b^2=h^2+d^2
:a^2=h^2+(c-d)^2
:a^2-b^2=c^2-2cd
:d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}
:
\begin{align}
h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2\\
& = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\
& = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\\
& = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\
& = \frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\
& = \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}
\end{align}
:
\begin{align}
A & = \frac{ch}{2}\\
& = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}
用旁心來證明
設\bigtriangleup ABC中，\overline{A B}=c,\overline{B C}=a, \overline{C A}=b。
I為內心，I_a, I_b, I_c為三旁切圓。
\because \angle I_aBI= \angle I_aCI=90^\mathsf{o}
\therefore I_aCIB四點共圓，並設此圓為圓O。
過I做鉛直線交\overline{B C}於P，再延長\overleftrightarrow{IP}，使之與圓O交於Q點。再過I_a做鉛直線交\overline{BC}於R點。
先證明\Box I_aQPR為矩形：\because \angle QPR=90^\mathsf{o}, \angle I_aRP=90^\mathsf{o}，又\angle I_aQI=\angle I_aBI=90^\mathsf{o}(圓周角相等)。\therefore \Box I_aQPR為矩形。因此，\overline{I_aR}=\overline{QP}。
\overline{PI}=內切圓半徑=\frac{\bigtriangleup}{\frac{a+b+c}{2}}，\overline{I_aR}=旁切圓半徑= \frac{\bigtriangleup}{\frac{b+c-a}{2}}。且易知\overline{BP}=\frac{c+a-b}{2}, \overline{PC}=\frac{a+b-c}{2}。由圓冪性質得到：\overline{PC}\times \overline{PB}= \overline{PQ}\times \overline{PI}=\overline{I_aR}\times \overline{PI}。故\frac{a+b-c}{2}\times \frac{c+a-b}{2} = \frac{\bigtriangleup}{\frac{a+b+c}{2}}\times \frac{\bigtriangleup}{\frac{b+c-a}{2}}\Rightarrow \bigtriangleup=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times \frac{b+c-a}{2}\times \frac{a+c-b}{2}\times \frac{a+b-c}{2}}
其他形式
海倫公式可改寫成以幂和表示：
:\begin{align}
A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\
&= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\
\end{align}
將海倫公式略為變形，知
:16 A^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \times [c+(a-b)][c-(a-b)]
多次使用平方-{}-差公式，得
:\begin{align}
16 A^2 &=[(a+b)^2-c^2] \times [c^2-(a-b)^2]\\
&=[2ab+(a^2+b^2-c^2)]\times[2ab-(a^2+b^2-c^2)]\\
&=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2\\
&=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2)\\
&=(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
&=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
\end{align}
等號兩邊開根號，再同除以4，得
:\begin{align}
A &=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\
&=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\
\end{align}
註釋
資料來源
參見
- 婆罗摩笈多公式：海倫公式對圆内接四边形的推廣。
外部連結
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