斯图尔特定理

斯图尔特定理（），，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明：
在三角形ABC的邊BC上任意取一點P，則：

:\overline{PC} \ \overline{AB}^2 + \overline{PB} \ \overline{AC}^2 = (\overline{PB} + \overline{PC}) (\overline{PA}^2+\overline{PB} \ \overline{PC})。

該定理由蘇格蘭數學家在1746年發表。這個定理以他的名字命名，來紀念他的貢獻。

证明
设 a 与 p 的交点为 P。对互补角 \angle APB和 \angle APC应用余弦定理，可得：

: b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta },\,
: c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta }.\,

把第一个等式乘以x，把第二个等式乘以 y：

: x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta },\,
: y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta }.\,

两式相加，得：

: x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y)= (x+y)(p^2 + x y), \,

证毕。

历史
据 Hutton & Gregory (1843，p.220) 所述，Stewart 于 1746 年发表这一结果，当时他正竞选爱丁堡大学数学教授之职。Coxeter & Greitzer (1967，p.6) 指出，这一定理可能在公元前300年左右就已经为阿基米德所知。他们接着说（错误地），第一个已知的证明是由 R. Simson 于 1751 年提供。Hutton & Gregory (1843 年) 指出，这一定理在 1748 年被 Simson 使用，1752 年被 Simpson 使用，并且它在欧洲的首次出现是由 Lazare Carnot 于1803 年给出。