阿基米德中點定理（），又稱為阿基米德折弦定理，是一個關於圓的定理。若一個圓上有兩點A,B，M為弧\overset{\frown}{AB}的中點，隨意選擇圓上的一點C，再選\overline{AC}上一點D使得\overline{MD}垂直\overline{AC}。若M、C分別在\overset{\frown}{AB}异侧，则\overline{AD}=\overline{CD}-\overline{BC}；若M、C皆在\overset{\frown}{AB}同侧，则\overline{AD}=\overline{CD}+\overline{BC}。
证明
若为同侧：在线段\overline{AD}上取点X，使得\overline{DX}=\overline{DC}，由于\overline{MD}\perp \overline{AC}，有
\overline{MX}=\overline{MC}。又因为M为弧\overset{\frown}{AB}中点，\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}。
:同时由圆周角定理知：
:\angle MAC=\angle MBC，\angle ABM=\angle ACM，
:所以 \angle XMC = 2\angle DMC =180^\circ - 2\angle ACM = 180^\circ - 2\angle ABM = \angle AMB ，
:所以 \angle AMX=\angle AMC - \angle XMC=\angle AMC - \angle AMB = \angle BMC，
:所以 \triangle AMX \cong \triangle BMC，
:所以 \overline{AX}=\overline{BC}，\overline{AD}=\overline{AX}+\overline{XD}=\overline{DC}+\overline{CB}，命题得证。
若为异侧：在线段\overline{AD}延长线上取点X,使\overline{DX}=\overline{AD}.因为M为弧\overset{\frown}{AB}中点，所以\angle ACM=\angle BCM。又因为四边形AMBC为圆内接四边形，所以，延长\overline{CB}至P，则\angle MBP=\angle MAC。但是\overline{AD}=\overline{DX}，\angle ADM为直角，所以\triangle ADM \cong \triangle XDM ； \angle MAC = \angle AXM ； \angle MBP = \angle AXM ； \angle CXM = \angle CBM 。
又\overline{CM}=\overline{CM}，所以 \triangle CXM \cong \triangle CBM 。
承上所述，所以\overline{CX}=\overline{CB}。所以\overline{AD}=\overline{DC}-\overline{CX}=\overline{DC}-\overline{CB}。
外部連結
- [https://web.archive.org/web/20060317111134/http://www.jimloy.com/cindy/midpoint.htm Java程式 (by Jim Loy)]
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