尼文定理

尼文定理（Niven's theorem）说的是，在 0~90° 范围内，如果正弦函数 sin 的自变量和因变量都要求是有理数，那么答案只有：

:\sin0^\circ=0 。
:\sin30^\circ=\frac12 。
:\sin90^\circ=1 。

若用弧度表示，需在0\leq \mathit x\leq \frac{\mathrm \pi}{2}的範圍內，且要求\frac{\mathit x}{\pi}及\sin\mathit x都是有理數。其結果是\sin 0 = 0, \sin\frac{\mathrm \pi}{6} = \frac{1}{2}及\sin\frac{\mathrm \pi}{2} = 1。

此定義出現在伊萬·尼雲有關無理數的書中。

证明
证明的核心是下方的引理：

引理：

对于\forall n \ge 1，必定存在一个一元n次整系数多项式F_n(x)使得
:F_n(2\cos t) = 2\cos nt
且该多项式首项系数为1

引理的证明：

考虑采用递推法构造题设数列：

当n = 1时
:F_1(x) = x
当n = 2时
:F_2(x) = x^2 - 2
当n > 2时
:2\cos(n-1)t\cos t = \cos nt + cos(n-2)t （积化和差恒等式）
:2\cos nt = (2\cos (n-1)t)(2 \cos t) - 2 \cos (n-2)t
:2\cos nt =2 \cos tF_{n-1}(2 \cos t) - F_{n-2}(2 \cos t) （移项）
即只要F_n(x) = xF_{n-1}(x) - F_{n-2}(x) 且 F_1(x) = x, F_2(x) = x^2 - 2
必定满足题设要求。

定理的证明：

考虑到\theta \over \pi是有理数，即\theta = 2\pi \frac kn

记c = 2\cos \theta \in \mathbb{Q}

:F_n(c) = F_n(\cos 2\pi \frac kn) = 2\cos (2\pi k) = 2

::即 c 是 F_n(x) - 2 = 0的有理根

::根据整数根定理，c 必定为整数

又有 -2 \le c = 2\cos \theta \le 2

:故 c \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}

于是，在 0 \le \theta \le \frac \pi 2 且 \frac\theta\pi 为有理数的条件下

:\theta \in \{0, \frac \pi 3, \frac \pi 2\}

定义\alpha = \frac\pi 2 - \theta

:有\sin\alpha = \cos\theta

故\alpha \in \{0, \frac \pi 6, \frac \pi 2\}

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相關條目
*勾股数：邊長為勾股数的直角三角形，角度的正弦為有理數
*三角函数
*三角函數數

参考资料
Weisstein, Eric W. "Niven's Theorem." From MathWorld*--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NivensTheorem.html

延伸閱讀
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