设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为
:OO_A+OO_B+OO_C=R+r，
其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理（），以拉扎尔·卡诺為名。
引理
在\triangle ABC中，R為\triangle ABC之外接圓半徑，且r為\triangle ABC之內切圓半徑，則
:r=4R\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})
證明
假設\triangle ABC為銳角三角形，D為\triangle ABC之外接圓圓心，D至\triangle ABC三邊之距離分別為\overline{DG}、\overline{DH}、\overline{DF}，其中\overline{DG}為D至\overline{AB}之距離，\overline{DH}為D至\overline{BC}之距離，\overline{DF}為D至\overline{AC}之距離。連接D與B，在\triangle HDB中，根據三角形外心性質，可以得到
:\overline{DB}=R
:\angle{HDB}=\angle{A}
所以，可以得到\overline{DH}的表示式，
:\overline{DH}=R\cos (A)
同理，亦可得到\overline{DG}和\overline{DF}的表示式，
:\overline{DG}=R\cos (C)
:\overline{DF}=R\cos (B)
因此，
:\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}\,
:= R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))\,
:=R(2\cos (\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\sin^2 (\frac{C}{2}))\,
:=R(2\cos (\frac{\pi-C}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\sin (\frac{\pi-(A+B)}{2}) \sin(\frac{C}{2}))\,
:=R(2\sin (\frac{C}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})+1-2\cos (\frac{(A+B)}{2}) \sin(\frac{C}{2}))\,
:=R(2\sin (\frac{C}{2}) (\cos(\frac{A-B}{2})-\cos (\frac{(A+B)}{2}))+1)\,
:=R(4\sin (\frac{A}{2}) \sin (\frac{B}{2}) \sin (\frac{C}{2})+1)\,
:=4R\sin (\frac{A}{2}) \sin (\frac{B}{2}) \sin (\frac{C}{2})+R\,
根據引理，即可得證，
:\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}=R+r
此外，若\triangle ABC為鈍角三角形，且\angle{B}大於90度，其餘符號假設均與上面相同，則可以得到，
:\overline{DH}=R\cos (A)\,
:\overline{DF}=R\cos (\pi-B)=-R\cos (B)\,
:\overline{DG}=R\cos (C)\,
所以，
:\overline{DG}+\overline{DH}-\overline{DF}\,
:= R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))\,
:=R+r\,
故得證卡諾定理。
參考資料
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