龐特里亞金對偶性
相互关系图示，它們是的元素。]] 數學中，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理是局部紧阿贝尔群之间的对偶，解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如： 實數線上夠「好」的複數值周期函數能表成傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數推出原函數。 實數線上夠「好」的複數值函數有傅立葉變換；一如周期函數，在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。 有限阿貝爾群上的複數值函數有離散傅立葉變換，這是在對偶群上的函…
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共 36 篇文章
迭代稀疏漸近最小方差算法
迭代稀疏漸近最小方差算法 }}
维纳-辛钦定理
在应用数学中，维纳-辛钦定理（），又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理或辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。该定理指出：宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换。 历史 諾伯特·維納在1930年证明了这个定理对于确定性函数的情况；辛钦后来对于平稳随机过程得出了类似的结果并且于1934年发表了它。阿尔伯特·爱因斯坦在1914年的一份简短的备忘录里阐述了这个想法，但并未给出证明。 连续时间过程的情形 对于连续时间的情形，维纳-辛钦定理表明若 x 是…
基函數
在數學中，基函數是函數空間中特定基底的元素。 函數空間中的每個連續函數可以表示為基函數的線性組合，就像向量空間中的每個向量可以表示為基向量的線性組合一樣。 在數值分析和逼近理論中，基函數也稱為混合函數，原因是它們用在插值上：把基函數混合起來可作為插值函數（“混合”的方式是根據基函數對數據點的評估）。 例子 多項式基底 多項式基底是將多項式方程式分解為線性函數。 傅立葉基底 正弦和餘弦形成平方可積函數的（正交）Schauder 基。 作為…
分数小波变换
分数小波变换（Fractional wavelet transform，缩写：FRWT）是传统小波变换（Wavelet transform）的推广。该变换的提出改进了了小波变换和分数傅里叶变换的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性，同时，类似于分数傅里叶变换，可以表示分数阶域的信号特征。 定义 分数傅里叶变换（FRFT）是傅里叶变换（FT）的推广，它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。然而，由于分数傅…
巴拿赫代数
泛函分析中，得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数（或非阿基米德完备赋范域）上的结合代数A，同时也是巴拿赫空间，即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足 \|x \, y\| \ \leq \|x\| \, \|y\| \quad \forall x, y \in A. 这确保了乘法运算连续。 若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元，则称其是含幺的（unital）。若其乘法是可交换的，则称其可交换。任意巴拿赫代数A（无论有无单…
窗函数
窗函数（）在信号处理中是指一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。 任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗函数在頻譜分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩（如在Ogg Vorbis音频格式中）等方面有广泛的应用。 频谱分析 从理论上可以得出函数 \cos(\omega t)\, 的傅立叶变换除了在频率 \pm \omega\…
倒易点阵
倒易点阵（），又称倒（易）晶格、倒（易）格子，是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性，倒晶格描述的是动量空间，亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格（正晶格）。 数学描述 一维晶格 对于以\boldsymbol{a}为基矢的一维晶格，其倒格子的基矢为 :\boldsymbol{b}=2 …
解析信号
在数学和信号处理中，解析信号（）是没有负频率分量的复值函数。 解析信号的实部和虚部是由希爾伯特轉換相关联的实值函数。 实值函数的解析表示是解析信号，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只…
離散哈特利轉換
離散哈特利轉換(DHT)是一種與傅立葉變換相關之轉換，類似於離散傅立葉變換(DFT)，與傅立葉變換在信號處理及其他相關領域中有類似的應用。與離散傅立葉變換最主要的差異在於哈特利轉換對於實數的輸入，有實數的輸出，並不會牽涉到複數的運算。如同離散傅立葉變換是連續域傅立葉變換的離散類比，離散哈特利轉換亦為連續域哈特利轉換的類比。連續域哈特利轉換於1942年由R. V. Hartley提出。離散哈特利轉換則在1983年由 R. N. Brace…
泊松求和公式
泊松求和公式（英文：）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。 公式 设无周期函数s(x)具有傅里叶变换： :S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx 这里的S(f)也可以替代表示为\hat s(f)和 \mathcal{F}\{s\}(f)…
弗里德定律
弗里德定律（）, 由提出，是实函数的一种傅里叶变换性质。 给定一个实函数f(x), 其傅里叶变换为： :F(k)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{i k \cdot x }dx 其有以下性质： F(k)=F^(-k) \, 其中F^是F的复共轭函数。 其中心对称点(k,-k)称为弗里德对（Friedel's pairs） 其幅方|F|^2也是中心对称的： |F(k)|^2=|F(-k)|^2 \, F的相位…
布拉格平面
的光路图]] 在物理学中，布拉格平面（）是指在倒易空间中垂直平分倒易矢量\scriptstyle \mathbf{K}的平面。布拉格平面被定义为X射线衍射晶体学中衍射峰的劳厄衍射条件的一部分。 根据图1.，入射的X射线的平面波方程为： :e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} = \cos {(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} + i\sin {(\mathbf{k} \cdot \m…
埃瓦尔德求和
埃瓦尔德求和（），是一种计算中长程力（如静电力）的方法，以德国物理学家保罗·彼得·埃瓦尔德命名。埃瓦尔德求和最初用于计算离子晶体的电势能，现在用于计算化学中计算长程力。埃瓦尔德求和是泊松求和公式的特殊形式，用倒空间中的等效求和代替实空间中的总和。埃瓦尔德求和将分为短程力和无奇点的长程力两部分，短程力在实空间中计算，长程力用傅里叶变换计算。与直接求和相比，此方法的优势为能量能够快速收敛，这意味着此方法在计算长程力时具有较高的精度和合理的速…
自相关函数
、互相关和自相关的图示比较。运算涉及函数f，并假定f的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。]] 函数。下面：自相关函数产生的显示出的正弦函数。]] 自相关（），也叫序列相关，是一个信号与其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。它常用于信号处理中，用来分析函数或一系…
乘子
在傅里叶分析中，乘子算子是一类线性算子，即对函数的一种变换。这类算子的作用方式是通过改变函数的傅里叶变换来实现的：它们将函数的傅里叶变换与一个特定的函数（称为乘子或符号）相乘。有时，人们也将“乘子算子”简略地称为“乘子”。简言之，乘子算子通过调整函数所涉及的频率结构来重新塑造函数的频谱特征。 这一类算子的范围极为广泛。一般理论表明：在一个群上，凡是满足一定（相当宽松）正则性条件的平移不变算子，都可以表示为一个乘子算子，反之亦然。许多常见…
傅里叶变换光谱学
傅里叶变换光谱法（，縮寫：FTS）是采集基于电磁辐射源或其他种类的放射源的干涉效应而测得的光谱的一种测量技术。其测量是在时域或者空间域展开的。它能运用于各类谱学，包括可见光光谱学、红外谱学（FTIR）、核磁共振以及核磁共振谱学成像、质谱学和电子自旋谱学。有几种测量光的时间相干性的方法（参见光场自相关词条），包括连续波迈克尔孙或者傅里叶变换光谱仪以及脉冲式傅里叶变换光谱摄像法（一种比传统光谱学技术更灵敏并且采样时间更短的测量技术，但只适用…
傅里叶分析
傅立叶分析 是數學中的一種研究方法，主要研究一般函数如何用更简单的三角函数之和来表示，而分解过程又被称为傅里叶变换。傅里叶分析源于人們对傅里叶级数的研究。傅里叶分析以约瑟夫·傅里叶的名字命名。 参考文献
速降函数空间
速降函数空间（Schwartz space）是数学中一类函数的总称，也称为施瓦茨空间，指的是当 X 值趋向于无穷大时，函数值 f(X) 趋近0的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是傅里叶变换对于这个空间是一个自同构，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对 \mathcal{S} 的对偶空间中的元素，也就是缓增广义函数，来定义其傅里叶变换。速降函数空间的别称“施瓦茨空间”得名于法国数学家洛朗…
威諾格拉德快速傅立葉變換演算法
威諾格拉德快速傅立葉演算法（）是由美國電腦科學家在1978年提出。此演算法可以找出最少的乘法運算量。 當把DFT的公式：y_j=\sum_{k=0}^{n-1} x_k e^{-j\begin{matrix} \frac{2\pi}{n} \end{matrix} ik} \qquad j=0,1,\cdots,n-1. 用矩陣方式來表示：\begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_{n-1} \…