调和函数
在数学、数学物理学以及随机过程理论中，都有调和函数的概念。一个调和函数是一个二阶连续可导的函数f : U → R（其中U是Rn里的一个开子集），其满足拉普拉斯方程，即在U上满足方程： : \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0 上式也经…
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共 36 篇文章
帕塞瓦尔恒等式
在泛函分析中，以馬克-安托萬·帕塞瓦爾命名的帕塞瓦尔恒等式是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。从几何观点来看，这就是内积空间上的毕达哥拉斯定理。 通俗地说，此恒等式表明“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算 :\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx, 在这里ƒ的傅里叶系数cn可通过下式…
數論轉換
數論轉換是一種計算摺積的快速演算法。計算摺積的快速演算法中最常用的一種是使用快速傅里葉變換，然而快速傅立葉變換具有一些實現上的缺點，舉例來說，資料向量必須乘上複數係數的矩陣加以處理，而且每個複數係數的實部和虛部是一個正弦及餘弦函數，因此大部分的係數都是浮點數，也就是說，必須做複數而且是浮點數的運算，因此計算量會比較大，而且浮點數運算產生的誤差會比較大。 而在數論轉換中，資料向量需要乘上的矩陣是一個整數的矩陣，因此不需要作浮點數的乘法運算…
卷积定理
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。 : \mathcal{F}\{fg\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\} 其中\mathcal{F}(f)表示f 的傅里叶变换。下面这种形式也成立： : \mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}\mathcal…
频率选择面
频率选择表面（Frequency Selective Surface），是一种薄面的、周期性的介质面（例如微波炉的炉门），用来反射、透射或吸收一定频率的电磁波。频率选择面是一种光学滤波器，其滤波功能是通过频率选择表面上的规则的、周期的图案（通常是金属，有时是电介质）来实现的。根据频率选择面的结构，频率选择面还具有随入射角和极化性质发生变化的特性。频率选择表面已被广泛应用于射频领域，还在微波炉、天线罩和超材料上有广泛应用。有时频率选择面也…
频谱
谱（spectrum）是一种物理情境或现象，其数值不限于一组特定的值，而是可在一段连续区中无间隔地变化。谱的性质又依其是否具连续性或周期性，分为连续谱、离散谱。 頻譜（frequency spectrum）是指一個時域的信號在頻域下的表示方式，可以針對信號進行傅立葉變換而得，所得的結果會是分別以振幅及相位為縱軸，頻率為橫軸的兩張圖，不過有時也會省略相位的資訊，只有不同頻率下對應振幅的資料。有時也以「振幅頻譜」表示振幅隨頻率變化的情形，「…
S平面
在數學及工程上，s平面是進行拉氏轉換後複平面的名稱。s平面是數學模型，可以不用處理時域下以時間為基礎的函數，改為處理頻域下的方程式，在工程及物理學上是圖象式的分析工具。 時間t的實函數f(t)可以進行s轉換轉換到s平面，作法是和e^{-st}（s為複數）相乘後再積分，時間範圍為0 到\infty，積分後的結果就是轉換到s平面下的函數。 :\int_{0}^\infty f(t) e^{-st}\,dt \; | \; s \; \in …
重疊-儲存之摺積法
重疊-儲存之摺積法 ( Overlap-save method, Overlap-discard method ) 是一種區塊摺積 ( block convolution, sectioned convolution )，可以有效的計算一個很長的信號 x[n] 和一個 FIR 濾波器 h[n] 的離散摺積。 : \begin{align} y[n] = x[n] \star h[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{…
維廷格函數不等式
數學上，實函數的維廷格不等式是傅里叶分析中的一條不等式，得名於。1904 年，其用作證明等周不等式。若干相關變式也稱作維廷格不等式。 定理 第一形式 設 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 為週期 2π 的周期函数，其在 R 上連續，並有連續導數，且滿足 :\int_0^{2\pi}f(x) \, dx = 0. 則 :\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx \ge \int_0^{2\pi}f^2…
重疊-相加之摺積法
重疊-相加之摺積法 ( Overlap-add method ) 是一種區塊摺積 ( block convolution, sectioned convolution )，可以有效的計算一個很長的信號 x[n] 和一個 FIR 濾波器 h[n] 的離散摺積。 : \begin{align} y[n] = x[n] \star h[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{m=-\infty}^{\i…
波前集
在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 f 的波前集 \text{WF}(f) 在奇异支集 \text{singsupp}(f) 的基础上进一步刻画了 f 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。 …
狄利克雷问题
数学中，狄利克雷问题（）是寻找一个函数，使其为给定区域内一个指定的偏微分方程（PDE）的解，且在边界上取预定值。 对许多偏微分方程，狄利克雷问题都可解，但最初是对拉普拉斯方程提出来的。在这种情形下问题可如下表述： :给定定义在Rn中一个区域的边界上一个函数f，是否存在惟一连续函数u在内部两次连续可微，在边界上连续，使得u在内部调和并在边界上u = f？ 这个条件称为狄利克雷边界条件。最主要的问题是证明解的存在性，因唯一性可利用证明。 历…
三角多项式
在数学中，三角多项式是一类基于三角函数的函数的总称。三角多项式是可以表示成有限个正弦函数sin(nx) 和余弦函数cos(nx) 的和的函数，其中的x 是变量，而n 是一个自然数。三角多项式中每一项的系数可以是实数或者复数。如果系数是复数的话，那么这个三角多项式是一个傅里叶级数。 三角多项式在许多数学分支，如数学分析和数值分析中都有应用，例如在傅里叶分析中，三角多项式被用于傅里叶级数的表示，在三角插值法中，三角多项式被用于逼近周期性函数…
週期圖法
週期圖法（）常出現在譜密度計算的內容中，在Fernando S. Schlindwein的論文中"Power Spectral Density estimation"解釋了「週期圖法」這詞的源起。很明顯地，這是由Arthur Schuster於1898年所創造。以下為Schlindwein摘自Schuster論文的文句中譯： 定義 :\mathcal{F}\{x(t)\circledast x^(-t)\} = X(f)\cdot X^…
傅里叶正弦、余弦变换
在数学中，傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长，如信号处理和概率统计。 定义 方程 的傅里叶正弦变换，有时也被表示为 {\hat f}^s or {\mathcal F}_s (f) ，有 : 2 \int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi \omega t) \,dt. :或 : \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \int_{…
基礎擴展時頻分析
無論是傅里叶级数，小波分析，或是其他的基礎，在單個基礎上的線性擴展都是不足的。傅立葉基礎在時域上提供了很弱的表現，小波不能很好地適應於具有窄高頻的傅立葉轉換。在這兩種情況下，都很難從其擴展係數中偵測和識別出信號的模樣，因為訊號在整個基礎上是被稀釋。因此，我們必須用大量的傅立葉基礎或是小波來表示具有些微誤差的整個訊號。在參考文獻中提出了一些匹配追蹤算法，已在給定基礎量時使誤差最小化。 特性 在傅里叶级数， x(t)\approx \sum…