泛函分析中，得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数（或非阿基米德完备赋范域）上的结合代数A，同时也是巴拿赫空间，即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足
\|x \, y\| \ \leq \|x\| \, \|y\| \quad \forall x, y \in A.

这确保了乘法运算连续。

若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元，则称其是含幺的（unital）。若其乘法是可交换的，则称其可交换。任意巴拿赫代数A（无论有无单位元）都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数A_e，从而形成A_e的闭理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的：因为可以先考虑A_e，再在原始代数中应用结果，来发展许多理论。不过并非总如此，例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数。

实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数，例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的，而实巴拿赫代数中，某些元素的谱可能是空的。

巴拿赫代数也可以定义在P进数域上。这是P进数分析的一部分。

例子
巴拿赫代数的典型例子是C_0(X)，即定义在局部紧豪斯多夫空间X上在无穷远处消失的（复值）连续函数空间。当且仅当X是紧空间，C_0(X)含幺。共轭复数是对合，因此C_0(X)实际上是C-代数。更一般地说，C-代数都是巴拿赫代数。

• 实数（或复数）集是巴拿赫代数，范数为绝对值。
• 若给所有实数或复数n阶方阵集合配备服从乘法范数，就成为含幺巴拿赫代数。
• 取巴拿赫空间\R^n（或\Complex^n），范数为\|x\| = \max_{} |x_i|，并定义乘法分量形式：\left(x_1, \ldots, x_n\right) \left(y_1, \ldots, y_n\right) = \left(x_1 y_1, \ldots, x_n y_n\right).
• 四元数形成了4维实巴拿赫代数，范数为四元数的绝对值。
• 定义在某集合（具有逐点乘和上确范数）上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。
• 某局部紧空间（具有逐点乘和上确范数）上的有界连续实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。
• 巴拿赫空间E（以函数复合为乘法，以算子范数为范数）上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E上所有紧算子的集合是巴拿赫代数，也是闭理想。若\dim E = \infty，则没有单位元。
• 若G是局部紧豪斯多夫拓扑群，\mu是其哈尔测度，则G上所有\mu可积函数的巴拿赫空间L^1(G)在卷积x y(g) = \int x(h) y\left(h^{-1} g\right) d \mu(h),\ \forall x, y \in L^1(G)下成为巴拿赫代数。
• 一致代数：巴拿赫代数，是复代数C(X)的子代数，具有上确范数，包含常数并分离了X的点（必须是紧豪斯多夫空间）。
• 自然巴拿赫函数代数：一致代数，其所有特征都在X的点上取值。
• C-代数：某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭-子代数，是巴拿赫代数。
• 测度代数：包含某局部紧群上所有拉东测度的巴拿赫代数，测度之积由卷积给出。

若巴拿赫代数有幺元\mathbf{1}，则\mathbf{1}不可能是交换子；即xy - yx \neq \mathbf{1},\ \forall x, y \in A。这是因为x y,\ y x若不是0，则具有相同的谱。

上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数（如实数）迥异的性质，例如：

• 是除代数的实巴拿赫代数同构于实数、复数或四元数。因此，只有是除代数的复巴拿赫代数是复形。（这就是盖尔范德-马祖尔定理）
• 没有零除子的含幺实巴拿赫代数的主理想都是闭的，代数同构于实数、复数与四元数。
• 没有零除子的交换实含幺诺特巴拿赫代数同构于实数或复数。
• 交换实含幺诺特巴拿赫代数（可有零除子）是有限维的。
• 巴拿赫代数中的永久奇异元是零的拓扑除子，也就是说，考虑巴拿赫代数A的扩张B，使一些在给定代数A中奇异的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓扑除子在A的任意巴拿赫扩张B中都是永久奇异的。

谱理论
复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素x \in A的谱记作\sigma(x)，包含所有使x - \lambda \mathbf{1}在A中不可逆的复标量\lambda。任意元素x的谱是\Complex中半径为\|x\|、圆心在0的闭圆盘的闭子集，于是也是紧的。另外，元素x的谱\sigma(x)也非空，满足谱半径公式：
\sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(x)\} = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.

给定x \in A，全纯函数微积分允许为在\sigma(x)的邻域全纯的任意函数f定义f(x) \in A；此外，谱映射定理成立：
\sigma(f(x)) = f(\sigma(x)).

若巴拿赫代数A是复巴拿赫空间X上的有界线性算子的代数L(X)（例如方阵的代数），则A中的谱与算子理论中的谱重合。对f \in C(X)（紧豪斯多夫空间X），可见：
\sigma(f) = \{f(t) : t \in X\}.

C-代数的正规元素x*的范数与谱半径重合，这推广了正规算子的类似事实。

令A为复含幺巴拿赫代数，当中非零元x都可逆（是除代数）。\forall a \in A，都有\lambda \in \Complex使
a - \lambda \mathbf{1}不可逆（因为a的谱非空），于是a = \lambda \mathbf{1}:代数A自然同构于\Complex（盖尔范德-马祖尔定理的复数情形）。

理想与特征
令A为\Complex上的含幺交换巴拿赫代数。由于A是含幺交换环，A的不可逆元属于A的某极大理想。由于极大理想\mathfrak m\in A是闭的，A / \mathfrak m是巴拿赫代数且是域，且由盖尔范德-马祖尔定理，A的最大理想集与非零同胚A\to\Complex集\Delta(A)之间有双射。集合\Delta(A)称作A的“结构空间”或“特征空间”，元素为“特征”。

特征\chi是A上的线性泛函，是乘法函数（\chi(a b) = \chi(a) \chi(b)且满足\chi(\mathbf{1}) = 1。）每个特征都是A\to\Complex且自动连续，因为特征的核是最大理想，是闭的；而且范数（即算子范数）为1。装备了A上逐点收敛拓扑（即由A^的弱-拓扑诱导的拓扑）后，特征空间\Delta(A)是豪斯多夫紧空间。

\forall x \in A,
\sigma(x) = \sigma(\hat x)
q在\hat x是x的盖尔范德表示，定义如下：\hat x是连续函数\Delta(A)\to \Complex，由\hat x(\chi) = \chi(x)给出。\hat x的谱也是作为紧空间\Delta(A)上复连续函数的代数C(\Delta(A))的元素的谱。显式地写，
\sigma(\hat x) = \{\chi(x) : \chi \in \Delta(A)\}.

作为代数，当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核，其是半单的（即其雅各布森根为零）。这种代数的重要例子是交换C-代数。事实上，若A是交换含幺C-代数，则其盖尔范德表示是A,\ C(\Delta(A))间的等距*-同构。
巴拿赫*-代数
巴拿赫-代数A是复数域上的巴拿赫代数，以及映射{}^ : A \to A，满足如下性质：

\forall x \in A,\ \left(x^\right)^ = x（于是映射是对合）

\forall x, y \in A,\ (x + y)^ = x^ + y^*

\forall \lambda \in \Complex,\ x \in A,\ (\lambda x)^ = \bar{\lambda}x^，其中\bar{\lambda}表示\lambda的共轭复数

\forall x, y \in A,\ (x y)^ = y^ x^*

也就是说，巴拿赫-代数是\Complex上的巴拿赫代数，也是-代数。

在大多数自然例子中，还需要对合是等距的，即
\|x^*\| = \|x\| \quad \text{ for all } x \in A.
有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。

巴拿赫-代数满足\|x^ x\| = \|x^\| \|x\|是C-代数。

另见

• 近似单位
• 卡普兰斯基猜想
• 算子代数
• 希洛夫界

注释
参考文献
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