自相关函数

、互相关和自相关的图示比较。运算涉及函数f，并假定f的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。]]
函数。下面：自相关函数产生的显示出的正弦函数。]]

自相关（），也叫序列相关，是一个信号与其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。它常用于信号处理中，用来分析函数或一系列值，如时域信号。

定义
自相关函数在不同的领域的定义不完全等价。在某些领域，自相关函数等同于自协方差。
统计学
将一个有序的随机变量序列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的序列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果序列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），则由以下相关值方程所计算的值不再为零，这样的组成部分为自相关。
:R(k) = \frac{E[(X_i - \mu_i)(X_{i+k} - \mu_{i+k})]}{\sigma^2}
:E ......... 期望值。
:X_i ........ 在t(i)时的随机变量值。
:\mu_i ........ 在t(i)时的预期值。
:X_{i+k} .... 在t(i+k)时的随机变量值。
:\mu_{i+k} .... 在t(i+k)时的预期值。
:\sigma^2 ......... 为方差。
所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值，-1则为最大負相关值，0為不相關。

信号处理
在信号处理中，上面的定义通常不进行归一化，即不减去均值并除以方差。当自相关函数由均值和方差归一化时，有时会被称作自相关系数。

给定一个信号 f(t)，连续自相关函数 R_{ff}(\tau) 通常定义为 f(t) 与其自身延迟 \tau 的连续互相关。

:R_{ff}(\tau) = (f * g_{-1}(\overline{f}))(\tau) = \int_{-\infty}^\infty f(u+\tau)\overline{f}(u)\, {\rm d}u = \int_{-\infty}^\infty f(u)\overline{f}(u-\tau)\, {\rm d}u

其中 \overline{f} 表示共轭复数，g_{-1} 是对函数 f 操作的一个函数，定义为 g_{-1}(f)(u)=f(-u) 而 * 表示卷积。

对于，\overline{f} = f。

注意积分中的参数 u 是一个虚变量，并且只对计算积分有用。没有具体含义。

离散信号 y(n) 的延迟为 l 的离散自相关 R 是

:R_{yy}(l) = \sum_{n \in Z} y(n)\,\overline{y}(n-l).

上述定义在信号平方可积或平方可和（即有限能量）的前提下才成立。但“永远持续”的信号被处理成随机过程，就需要使用基于期望值的与之不同的定义。对于宽平稳随机过程，自相关函数定义为

:R_{ff}(\tau) = \operatorname{E}\left[f(t)\overline{f}(t-\tau)\right]
:R_{yy}(l) = \operatorname{E}\left[y(n)\,\overline{y}(n-l)\right].

对于非平稳过程，这些也会是 t 或者 n 的函数。

对于还是的过程, 期望会被换成时间平均的极限。各态历经过程的自相关函数有时定义为或等于

:R_{ff}(\tau) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_0^T f(t+\tau)\overline{f}(t)\, {\rm d}t
:R_{yy}(l) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}y(n)\,\overline{y}(n-l).

这些定义的优点是，它们合理定义了周期函数的单变量结果，甚至当那些函数不是平稳各态历经过程时。

此外，「永远持续」的信号可以通过短时距自相关函数使用有限时间积分来处理（相关过程参见短時距傅立葉變換。）

多维自相关定义类似。例如，在三维中， 平方可和的离散信号的自相关就会是

:R(j,k,\ell) = \sum_{n,q,r} x_{n,q,r}\,x_{n-j,q-k,r-\ell}.

若在求自相关函数之前从信号中减去均值，得出的函数通常称为自协方差函数。

自相关函数的性质
以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。
对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i*)。连续型自相关函数为偶函数
:当f为实函数时，有：
::R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,

:当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：
::R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\,
:其中星号表示共轭。

连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ*，均有 |R_f(\tau)| \leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。
*周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。
*两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。
*由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。
*连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。
*维纳-辛钦定理表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：

::R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df

::S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.

*实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：

::R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df

::S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau.

自相关函数举例
白噪声的自相关函数为δ函数：
:r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )

应用
*信号处理中，自相关可以提供关于重复事件的信息，例如音乐节拍（例如，确定节奏）或脉冲星的频率（虽然它不能告诉我们节拍的位置）。另外，它也可以用来估计乐音的音高。

参考文献