在数学和信号处理中，解析信号（）是没有负频率分量的复值函数。 解析信号的实部和虚部是由希爾伯特轉換相关联的实值函数。
实值函数的解析表示是解析信号，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是“解析函数”），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量概念的一个推广： 向量限制在时不变的振幅、相位和频率，解析信号允许有时变参数。
定义
若 s(t) 是一个实值函数，其傅里叶变换为 S(f)，S(f)為一於 f = 0 埃尔米特对称之函數：
:S(-f) = S(f)^, 其中，S(f)^为 S(f) 的复共轭。
函数：
:
\begin{align}
S_\mathrm{a}(f) &\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}}
\begin{cases}
2S(f), &\text{for}\ f > 0,\\
S(f), &\text{for}\ f = 0,\\
0, &\text{for}\ f
其中：
*\operatorname{u}(f) 是单位阶跃函数，
*\sgn(f) 是符号函数，
仅包含 S(f) 的非负频率分量。而且由于 S(f) 的埃尔米特对称性，该运算是可逆的：
:
\begin{align}
S(f) &=
\begin{cases}
\frac{1}{2}S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f > 0,\\
S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f = 0,\\
\frac{1}{2}S_\mathrm{a}(-f)^*, &\text{for}\ f
s(t) 的解析信号是 S_\mathrm{a}(f) 的傅里叶逆变换：
:\begin{align}
s_\mathrm{a}(t) &\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \mathcal{F}^{-1}[S_\mathrm{a}(f)]\\
&= \mathcal{F}^{-1}[S (f)+ \sgn(f) \cdot S(f)]\\
&= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} + \overbrace{
\underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\sgn(f)\}}_{j\frac{1}{\pi t}} * \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)}
}^{convolution}\\
&= s(t) + j\underbrace{\left[{1 \over \pi t} * s(t)\right]}_{\operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]}\\
&= s(t) + j\hat{s}(t),
\end{align}
其中
*\hat{s}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \operatorname{\mathcal{H}}[s(t)] 是 s(t) 的希爾伯特轉換；
** 是卷积符号；
*j 是虛數單位。
例子
例1
:s(t) = \cos(\omega t), 其中 \omega > 0.
于是：
:\hat{s}(t) = \cos(\omega t - \pi/2) = \sin(\omega t),
:s_\mathrm{a}(t) = s(t) + j\hat{s}(t) = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t) = e^{j\omega t}. 第三个等式为欧拉公式。
欧拉公式的一个推论是 \cos(\omega t) = \tfrac{1}{2} (e^{j\omega t} + e^{j (-\omega) t}). 一般来说，简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它，丢弃负频率分量，并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。
例2
这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。
:s(t) = \cos(\omega t+\theta) = \tfrac{1}{2} (e^{j (\omega t+\theta)} + e^{-j (\omega t+\theta)})
于是：
:s_\mathrm{a}(t) =
\begin{cases}
e^{j(\omega t + \theta)} \ \ = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{j\theta} , & \text{if} \ \omega > 0, \\
e^{-j(\omega t + \theta)} = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{-j\theta} , & \text{if} \ \omega
例3
这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到，对于复值函数 s(t)，没有什么能阻止我们计算 s_\mathrm{a}(t)。但它可能不是一种可逆的表示，因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外，一般讨论都假设 s(t) 为实值函数。
:s(t) = e^{-j\omega t}, 其中 \omega > 0.
于是：
:\hat{s}(t) = je^{-j\omega t},
:s_\mathrm{a}(t) = e^{-j\omega t} + j^2 e^{-j\omega t} = e^{-j\omega t} - e^{-j\omega t} = 0.
负频率分量
由于 s(t) = \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}(t)]，恢复负频率分量就是简简单单丢弃 \operatorname{Im}[s_\mathrm{a}(t)] 这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭 s_\mathrm{a}^(t) 仅由负频率分量构成。因此 \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}^(t)] 恢复了被减弱的正频率分量。
应用
包络和瞬时相位
解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位（极坐标）：
:s_\mathrm{a}(t) = s_\mathrm{m}(t)e^{j\phi(t)},
其中：
s_\mathrm{m}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} |s_\mathrm{a}(t)| 称作瞬时振幅或*'；
\phi(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \arg\!\left[s_\mathrm{a}(t)\right] 称作瞬时相位*。
在附图中，蓝色曲线描绘 s(t)，红色曲线描绘对应的 s_\mathrm{m}(t)。
解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s，称作瞬时角频率：
:\omega(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \frac{d\phi}{dt}(t).
因此，瞬時頻率（单位赫兹）为：
:f(t)\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \frac{1}{2\pi}\omega(t).
瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将振幅調變和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。
复包络/基带
解析信号通常都会在频率上移位（下转换）到 0 Hz，可能会产生[非对称]负频率分量：
:\underline{s_\mathrm{a}}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} s_\mathrm{a}(t)e^{-j\omega_0 t} = s_\mathrm{m}(t)e^{j(\phi(t) - \omega_0 t)},
其中 \omega_0 是任意参考角频率。 \omega_0 选取还可以是要最小化线性逼近解缠的瞬时相位 \phi(t) 的均方误差：
:\int_{-\infty}^{+\infty}[\omega(t) - \omega_0]^2 |s_\mathrm{a}(t)|^2\, dt
再或者（对最佳 \theta）：
:\int_{-\infty}^{+\infty}[\phi(t) - (\omega_0 t + \theta)]^2\, dt.
在信号处理领域，维格纳–威利分布定义中需要解析信号，因此该方法在实际应用中具有理想特性。
有时复包络与复振幅同义；
其他时候它作为一种时间无关的推广形式。 它们的关系并不像实值的情形那样；变化的产生恒定的振幅。
参见
*希爾伯特轉換
*负频率
应用
*单边带调制
*
*因果滤波器
注释
参考文献
延伸阅读
Leon Cohen, Time-frequency analysis*, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
Frederick W. King, Hilbert Transforms*, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference*, Elsevier Science, Oxford, 2003.
外部链接
*[http://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html Analytic Signals and Hilbert Transform Filters]
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