奇异摄动
奇异摄动问题是指数学上一个含有小参数的问题，但不能够直接以把小参数设为零来求得所有近似解的问题。在描述奇异摄动问题的方程里，小参数作为系数出现在含有最高阶次方或导数项里，如果按照常规摄动法把小参数设为零，将会导致方程降阶从而不能得到所有的近似解。奇异摄动的来源是这类问题里存在多个尺度。为了求得在每个尺度上的有效近似解，需要将方程用不同尺度规范化以得到新的方程。而新的方程则可以用常规摄动法来求近似解。奇异摄动方法开端于普朗特的边界层理论。…
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匹配渐近展开法
匹配渐近展开法（）是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。 对于许多奇异摄动问题而言，可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正…
物理信息神经网络
的物理資訊神经网络]] 物理資訊神经网络（，简称) 是一种通用函数近似器，可以在学习过程中嵌入特定物理定律的資料，这些定律满足给定数据集并以偏微分方程的形式描述。一些生物和工程系统存在資料稀缺性的问题，使得大多先进的机器学习技术在这些情境下缺乏強健性并变得无效，而PINN则能够克服这种缺陷。推导出的一组偏微分方程。满足适当的初值和边界条件的N-S方程可以定量描述特定几何形体中的流动动力学现象。然而N-S方程无法精确求解，通常需使用有限差…
通用微分方程
通用微分方程是一種非平凡的，其解可以在實數線上的任何區域逼近任何連續函數，可以到任意的精準度。此概念是由美國數學家在1981年提出。 若要精確表示，微分方程P(y', y, y, ..., y^{(n)}) = 0是通用微分方程，若針對任意連續實值函數f以及任意正值連續函數 \varepsilon ，存在P(y', y, y*, ..., y^{(n)}) = 0的光滑解 y，使得針對所有 x \in \R ， |y(x) - f(x)…
勒让德多项式
数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解： :(1 - x^2 )\frac{{\mathrm{d}^2 P(x)}}{{\mathrm{d}x^2 }} - 2x\frac{{\mathrm{d}P(x)}}{{\mathrm{d}x}} + n(n + 1)P(x) = 0. 为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式: :{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left[ (1-x^2) {\mathrm…
利普希茨連續
在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率的绝对值，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。 在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。 利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；…
庞加莱-本迪克松定理
在数学中，庞加莱-本迪克松定理（）是一个关于二维平面上的连续动力系统的轨道的变化趋势的定理。 简介 庞加莱-本迪克松定理说明了：如果在二维的平面上的连续动力系统的某一个解的轨道被限制在一个紧区域内，那么在时间足够长之后，这个轨道要么逼近某一个奇点，要么逼近某一个周期轨道（极限环）。因此，一维或者二维平面上的连续动力系统是不可能出现混沌现象的。混沌现象只可能出现在三维或以上维数空间上的连续动力系统中。但是要注意的是：庞加莱-本迪克松定理对…
本迪克森-杜拉克定理
在数学裡，本迪克森-杜拉克定理（）说明了对于一个二维的驻定动力系统 : \frac{ dx }{ dt } = X(x,y), : \frac{ dy }{ dt } = Y(x,y) 如果存在\varphi ( x,y) 使得 :\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } \ne 0 在研究区域（必须…
极限环
]] 在数学中，特别是在动态系统理论里，极限环（）是相空间里的一条闭合的（周期性的）轨迹，使得至少另一个轨迹会随自变量（如时间t）变化而逐渐逼近它（在自变量趋于正无穷或负无穷的时候）。极限环是非线性系统特有的现象，线性系统可以有周期解（如简谐振动），但不存在极限环。在实数轴上的一维自洽系统不存在周期解，故只有二维以上或非自洽系统才会有极限环。 稳定的极限环会导致持续振荡的情况：若一开始轨迹是极限环，则关于轨迹的任意的小扰动都会导致系统重…
守恆量
在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為守恆量（），又稱為運動常數。由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。 動量 根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻速運動或著靜止不變。…
微分方程
]] 得到的泵浦外殼熱分佈圖，假設外界是較低溫度的溫度分佈，熱由泵浦內部傳出，由外界冷卻。]] 微分方程（，DE）是一種數學方程，用來描述某一類函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個滿足方程的函數，通常微分方程的解並不唯一，經常要給定恰當的初始條件或邊界條件才能確定。而在初等数学的代数方程裡，其解是常数。 微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理学中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气阻力為速度函數的自由落體运…
隨機微分方程
隨機微分方程（，縮寫：SDE），是常微分方程的擴展，其项是随机过程，解也是随机过程。其形容一個隨機變數的變動過程，也就是常微分方程加上一個白噪音項。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的導數不可定義，所以一般解微分方程的概念不適用於隨機微分方程。SDE在纯数学中有许多应用，可用于模拟随机模型的各种行为，如股价、随机增长模型或有跳跃的半鞅。随机微分方程还可扩展到微分流形。 隨機微分方程的概念最早以布朗運動的…
刘维尔定理 (微分代数)
刘维尔定理（）揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。 初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 e^{-x^2} 的原函数是误差函数，无法用初等函数表达出来。 其它常见的例子还有 \sin(x)/x ， x^x ， 1/\ln(x) 等。 刘维尔定理指出，一个初等函数如果有初等的原函数，那么一定能写成同一个…
弗洛凱理論
弗洛凱理論（Floquet theory）是常微分方程理論的一種，討論有關下列微分方程類型的解答類別， :\dot{x} = A(t) x, 其中，A(t)是一週期為T的連續週期函數。 弗洛凱理論的主要定理－弗洛凱定理給出了一般線性系統的每個的正規形式。它給定了一座標轉變y=Q^{-1}(t)x，其中Q(t+2T)=Q(t)，用以來轉變周期系統至有常數及實係數的傳統線性系統。 在固態物理中，其類比的結果(推廣至三維)為布洛赫定理。 弗洛…
諧振子
古典力學中，一個諧振子（）乃一個系統，當其從平衡位置位移，會感受到一個恢復力F正比於位移x，並遵守虎克定律： : F = -k x \, 其中k是一個正值常數。 如果F是系統僅受的力，則系統稱作簡諧振子（簡單和諧振子）。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動，且振幅與頻率都是常數（頻率跟振幅無關）。 若同時存在一摩擦力正比於速度，則會存在阻尼現象，稱這諧振子為阻尼振子。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減…
非自治系统
数学中，自治系统指光滑流形上的动力方程；非自治系统（non-autonomous system）则是\mathbb R上的光滑纤维丛Q\to \mathbb R上的动力方程。这是的情形。 纤维丛Q\to \mathbb R上的r阶微分方程由Q\to \mathbb R的节丛J^rQ的闭子丛表示。Q\to \mathbb R上的动力方程是微分方程，高阶导数可用代数方法求解。 特别地，纤维丛Q\to \mathbb R上的1阶动力方程是Q\…
协变经典场论
近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。 本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。 记法 本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令\bar{\Gamma}(\pi)表示有紧支撑的\pi\,的截面。 作用量积分 一个经典场论数学上可以如下表述 一个纤维丛 (\mathcal{E},\pi, \mathcal{M})，其中\mathc…
微分伽罗瓦理论
数学中，微分伽罗瓦理论是研究微分方程伽罗瓦群的理论。 概述 代数伽罗瓦理论研究代数域的扩张， 而微分伽罗瓦理论则研究微分域的扩张，即具备导子D的域。这两种构造的一个区别是，微分伽罗瓦理论中的伽罗瓦群往往是矩阵李群，而代数伽罗瓦理论中常常是有限群。 另见 皮卡–韦西奥理论 参考文献 Juan J. Morales Ruiz : Differential Galois Theory and Non-Integrability of Hami…
格林函數
在數學中，格林函數（點源函數、影響函數）是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种，有时并不符合数学上函數的定义。 格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。 定義以及用法 给定流形M\,上的微分算子 L\,，其格林函數G(x,s)\, s,x\in M，为以下方程的解 :L G (x,s) = \delta…
逻辑斯谛函数
邏輯斯諦函數（）是一种常见的S型函数，其函數圖像稱為逻辑斯谛曲线（）。简单的逻辑斯谛函数可用下式表示： : f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}} 其中： : 为S形曲线中点的值； : 为曲线的最大值 : 为逻辑斯谛增长率或曲线的陡度。 当趋向于正无穷时，的值逼近L，而趋向于负无穷时，的值逼近0。 逻辑斯谛函数应用领域广泛，包括生物学（特别是生态学）、數理生物學、化學、人口学、经济学、地球科学、数学心理学、…