匹配渐近展开法（）是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。
对于许多奇异摄动问题而言，可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正则摄动获得的则称为“外解”）。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并，以得到在整个定义域内都适用的近似解。
示例
考虑边值问题
: \epsilon y* + (1+\epsilon) y' + y = 0,
其中y为时间t的函数，定义域从0到1，边界条件为y(0)=0与y(1)=1。\epsilon是一个小参数，满足0。
外解（t = O(1)）
由\epsilon十分小，故可以当作正则摄动问题处理。取\epsilon=0，有
:y'+y=0.\,
该方程的解为
:y=Ae^{-t}\,
其中A为常数。使用边界条件y(0) = 0，有A=0。而如果使用另一个边界条件y(1) = 1，则有A=e。这说明该解不可能满足所有边界条件，意味着\epsilon=0的假设不能在整个定义域中都适用（即奇异摄动问题）。于是，我们能够知道定义域中必定存在一个边界层，其中\epsilon与自变量t相比不能再忽略不计。这个边界层位于t=0一侧。于是我们使用另一个边界条件y(1) = 1得到适用于边界层以外区域的外解y_O=e^{1-t}\,。
内解（t = O(ε））
在边界层之内，t与\epsilon都很小，但它们大小相若，故可以定义一个新的O(1) 时间变量\tau = t/\epsilon。于是原先的边值问题可以改写为
: \frac{1}{\epsilon} y*(\tau ) + \left( {1 + \epsilon } \right)\frac{1}{\epsilon }y'(\tau ) + y(\tau ) = 0,\,
将两边同乘\epsilon再取\epsilon = 0，得到
:y* + y' = 0. \,
该方程的解为
:y=B-Ce^{-\tau}\,
其中B与C为常数。使用边界层内的边界条件y(0)=0，得到B=C。故内解为
:y_I = B\left( {1 - e^{ - \tau } } \right)= B\left( {1 - e^{ - t/\epsilon } } \right).\,
匹配
由于对于中间大小的t（\epsilon \ll t \ll 1）需同时满足内解和外解，故可以令内解的外极限与外解的内极限相等，即\lim_{\tau \rightarrow \infty} y_I = \lim_{t \to 0} y_O \,。由此得到常数B=e。
合并
最后，将匹配好的内解与外解合并，以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言，即是将内解与外解相加，再减去内、外解重合部分的值\,y_\mathrm{overlap}（即外解的内极限，或内解的外极限）。此问题中，重合部分的值为e。故可以得到原边值问题的最终近似解为
:y(t) = y_I + y_O - y_\mathrm{overlap} = e\left( {1 - e^{ - t/\epsilon } } \right) + e^{1 - t} - e = e\left( {e^{ - t} - e^{ - t/\epsilon } } \right).\,
参考文献
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