拉普拉斯变换
拉普拉斯变换（）是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏轉換，其符號為 \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有實數变量 t(t \ge 0) 的函數轉換為一個变量為複數 s 的函數： :F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,\mathrm{d}t. 拉氏變換在大部份的應用中都是對射的，最常見的 f(t) 和 F(s) 組…
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共 58 篇文章
神经微分方程
神经微分方程（）是机器学习中的一种微分方程，其方程右侧项由人工神经网络的权重\theta参数化。神经常微分方程（，简称）是最常见的神经微分方程，可写作如下形式： :\frac{\mathrm{d} \mathbf{h}(t)}{\mathrm{d} t}=f_\theta(\mathbf{h}(t), t). 在经典的神经网络中，各层是按自然数排序的。而在神经ODE中，各层形成一个由正实数排序的连续体。具体来说，函数h: \mathbb…
悬链线
悬链线（）是一种常用曲线，物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。 雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。 隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步…
泛函微分方程
泛函微分方程是一类具有偏移自变量的微分方程。也就是说，泛函微分方程是包含某个函数及其若干导数在不同自变量取值下的方程。 泛函微分方程常用于数学模型中，这类模型假设某一特定行为或现象不仅取决于系统的当前状态，还取决于其过去状态。换言之，过去的事件会明确地影响未来的结果。因此，与常微分方程相比——后者的未来行为仅隐含地依赖于过去——泛函微分方程具有更广泛的适用性。 参见 函数方程 洛特卡-沃爾泰拉方程 分岔理論 李亞普諾夫函數 参考文献
朗斯基行列式
在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。 对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为： : W(f_1, \ldots, f_n) = \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\ …
格朗沃尔不等式
在数学中，格朗沃尔不等式（Grönwall's inequality）或格朗沃尔引理（Grönwall's lemma）说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。 格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。 格朗沃尔不等式的…
曳物线
曳物线（英语：tractrix）是几何学中的一个曲线。力学意义下，曳物线是指连接一个线段的质点受垂直于初始静止状态时线段方向的牵引力作用下的运动轨迹，其笛卡尔坐标系下的最常用的参数方程形式为 \left\{\begin{matrix} x=l(t-\tanh t)\\ y=l(1/\cosh t) \end{matrix}\right. 其中tanh, cosh 分别为双曲正切函数和双曲余弦函数， l为线段长，0\leq t . 曳物线…
边值问题
有效的區域，且函數在邊界上的值已知]] 在微分方程中，边值问题是一个微分方程和一组称之为边界条件的约束条件。边值问题的解通常是符合约束条件的微分方程的解。 物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。許多重要的边值问题屬於Sturm-Liouville問題。這類問題的分析會和微分算子的本徵函數有關。 在实际应用中，边值问题应当是适定的（即：存在解，解唯一且解會隨著初始值連續地變化）。許多偏微分方程領域的理論提出是為要證明科學及工程應用的許…
线性微分方程
线性微分方程（）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程： : \mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; () 其中方程左侧的微分算子\mathcal{L}是线性算子，是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果() 0，那么方程()的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空…
托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程
在天体物理学中，托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程（）是在广义相对论框架下描述一个处在定态引力平衡状态下的各向同性球对称物体结构的约束方程。它所描述的是恒星在辐射压力和自身引力作用下的相对论性流体静力学平衡。 方程形式 方程的形式为 :::::\frac{dP(r)}{dr}=-\frac{G(\rho(r)+P(r)/c^2)(M(r)+4\pi P(r) r^3/c^2)}{r^2(1-2GM(r)/rc^2)}. 这里r\,是径向坐标…
指数衰减
某个量的下降速度和它当前的值成比例，称之为服从指数衰减。用符号可以表达为以下微分方程，其中N是指量，λ指衰减常数（或称衰变常数）。 :\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda N(t). 方程的一个解为： :N(t) = N_0 e^{-\lambda t}. \, 这里N(t)是时间为t时候的量，N0 = N(0)是初始量，即在时间为零时候的量。 衰减速率的测定 平均寿命 如果这个衰减量是一个集合中的离散元素，可以计算元…
特殊函数
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塞尔函数、菲涅耳积分等。它们在数学分析、泛函分析、數學物理、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或初等函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。因为微分方程的对称性在数学和物理中的重要性，特殊函数理论也…
伴随勒让德多项式
伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼： :(1-x^2)\,\frac{d^2\,y}{dx^2} -2x\frac{dy}{dx} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0 该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在…
分離變數法
數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。 常微分方程 假若，一個常微分方程可以寫為 :\frac{d}{dx} f(x) = g(x)[h(f(x))] 。 設定變數 y = f(x) 。那麼， :\frac{dy}{dx}=g(x)h(y) ．(…
微分对策
微分對策 — 微分對策属于應用數學的分支，是博弈論的重要组成部分。在微分對策中，可以用微分方程或微分方程组来表现博弈中的各種狀態。 历史 微分对策之父 — （Rufus Isaacs）於1940年代发表了一篇关于微分对策的文献。1951年11月，其发表的一篇文章中描述了一个由追击者和逃脱者组成的零和对策（zero-sum differential game）和该对策的解法。此对策下，追击者的目标是最大化抓住逃脱者的概率，逃脱者的目标是最…
微分方程的質性理論
微分方程的質性理論（qualitative theory of differential equations）是数学領域中探討微分方程的一種方式，不直接求解微分方程，而用其他方式來探討。此理論起源自儒勒·昂利·庞加莱及亞歷山大·李亞普諾夫的研究。微分方程中，可以求得顯式解的其實比較少，不過利用数学分析及拓扑学的工具，在沒有求得顯式解時，也可以瞭解其解的一些特質及相關資訊，所探討的包括解是否會隨時間而收斂，或是解發散的程度等。 美國電腦科…
可分離變數的偏微分方程
可分離變數的偏微分方程（PDE）是指一種偏微分方程，在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題，若可以簡化為一維的問題，甚至可以用變成常微分方程。 分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函數的積，而每個函數只有一個自變數。例如給予一個 n 元函數 F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n) 的偏微分方程，猜想解答的形式…
希爾微分方程
希爾微分方程或是希爾方程是指以下的二階常微分方程 : \frac{d^2y}{dt^2} + f(t) y = 0, 其中f(t)為週期函數 希爾微分方程得名自1886年發現此方程的天文學家喬治·希爾 一般會假設f(t)的週期為π，則希爾方程可以改寫為f(t)的傅里叶级数： :\frac{d^2y}{dt^2}+\left(\theta_0+2\sum_{n=1}^\infty \theta_n \cos(2nt)+\sum_{m=1}…
艾里函数
艾里函数（Ai(x)），英国英格蘭天文学家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)（也称为艾里函数），是以下微分方程的解： :y - xy = 0 , \,\! 这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。 定义 对于…
初始條件
在数学以及动力系统中，初始條件（initial condition），有時也稱為種子值（seed value），是系統未知變數在初始時間（一般表示為t = 0）下的值。考慮以下的初值問題，其中的y(0) = 19 和y(0) = 3 即為初值條件。 : y' = 0.85 y,\qquad y(0) = 19 :\dot y+3y=6t+5,\qquad y(0)=3 針對k階微分方程系統（若在離散時間系統下，是時間延遲的次數，若是連續…