數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。
常微分方程
假若，一個常微分方程可以寫為
:\frac{d}{dx} f(x) = g(x)[h(f(x))] 。
設定變數 y = f(x) 。那麼，
:\frac{dy}{dx}=g(x)h(y) ．(1)
只要是 h(y)\ne 0 ，就可以將方程式兩邊都除以 h(y) ，再都乘以 dx ：
:{dy \over h(y)} = {g(x)dx} 。
這樣，可以將兩個變數 x ，y 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 k 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；
:\int{dy \over h(y)} = \int{g(x)dx}=k 。
第二種方法
有些不喜歡用的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為
:\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x) 。
這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？
隨著 x 積分公式的兩邊，可以得到
:\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx 。(2)
應用换元积分法，
:\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx 。
假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 \frac{dy}{dx} 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋，
實例 (I)
常微分方程式 \frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1 - f(x)) 可以寫為
:\frac{dy}{dx}=y(1-y) ；(3)
其中，y=f(x) 。
設定 g(x)=1 ，h(y)=y(1 - y) 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。
進一步編排，則
:\frac{dy}{y(1 - y)}=dx 。
變數 x ，y 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，
:\int\frac{dy}{y(1 - y)}=\int dx 。
積分的結果是
:\ln |y| - \ln |1 - y|=x+C ；
其中，C 是個積分常數。稍加運算，則可得
:y=\frac{1}{1+Be^{ - x}} 。
在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 \frac{dy}{dx} 。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 B 的正值與負值。而當 y=1 時，B=0 ）。
特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 y 跟 (1 - y) ，必須檢查兩個函數 y(x) = 0 與 y(x) = 1 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱 。
實例 (II)
人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達
: \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right) ；
其中，P 是人口數值函數，t 是時間參數， k 是成長的速率，K 環境的容納能力。
將方程式的兩邊都除以P\left(1-\frac{P}{K}\right) ．再隨著時間 t 積分，
:\int\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}\frac{dp}{dt}\,dt=\int k\,dt 。
應用换元积分法，
:\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt 。
稍微運算，則可得
:P(t)=\frac{K}{1+Ae^{ - kt}} ；
其中，A 是常數。
偏微分方程
給予一個 n 元函數 F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n) 的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為
: F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n) ，
或者
: F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n) 。
時常，對於每一個自變量 x_i ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 ()。
實例 (III)
假若，函數 F(x,\ y,\ z) 的偏微分方程為
: \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0 。
猜想解答為
: F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z) 。
那麼，
: \frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0 。
因為 X(x) 只含有 x 、Y(y) 只含有 y 、Z(z) 只含有 z ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：
:\frac{dX}{dx} = c_1 、
:\frac{dY}{dy} = c_2 、
:\frac{dZ}{dz} = c_3 ；
其中， c_1,\ c_2,\ c_3 都是常數， c_1 + c_2 + c_3 = 0 。
偏微分方程的答案為
: F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4 ；
其中，c_4 是常數。
實例 (IV)
思考一個典型的偏微分方程，
: \nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0 。
首先，猜想答案的形式為
: v = X(x)Y(y) 。
代入偏微分方程，
: {\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0 。
或者，用單撇號標記，
: X(x)Y(y)+X(x)Y(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0 。
將方程式的兩邊除以 X(x)Y(y) ，則可得
:{X(x)\over X(x)}= - {Y(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)} 。
由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 k ：
: {X(x)\over X(x)} = k = - {Y(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)} 。
因此，可以得到兩個新的常微分方程式：
:X*(x) - kX(x)=0 、
:Y*(y)+(\lambda+k) Y(y) =0 。
這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若，k ，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為
:X(x)=A_x\cos(\sqrt{- k}\ x+B_x) ，
:Y(y)=A_y\cos(\sqrt{\lambda+k}\ y+B_y) ；
其中，A_x,\ A_y 是振幅常數，B_x,\ B_y 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。
參閱
*拉普拉斯-龍格-冷次向量
*哈密頓-雅可比方程
*亥姆霍茲方程
參考文獻
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. 。
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