黎卡提方程
黎卡提方程是形式如y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2 的常微分方程。該方程以義大利數學家雅各布·黎卡提命名。 解法 先同乘 q_2(x)，使得q_2y' = q_0q_2 + q_1q_2 y + q_2^2 y^2 再以v = y q_2代入： : v' = v^2 + P(x)v + Q(x)；其中令 Q(x) = q_0q_2;P(x)=q_1+\frac{q_2'}{q_2} 。 再以v = …
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时滞微分方程
在数学领域中, 时滞微分方程, 或延时微分方程 (DDE) 是一类微分方程, 其中未知函数的在确定时刻的导数由先前时刻函数所决定. 对于x(t)\in R^n, 时滞微分方程方程的一般形式是: :\frac{d}{dt}x(t)=f(t,x(t),x_t), 其中 x_t=\{x(\tau):\tau\leq t\} 表示过去时间的解轨道. 在这个方程中, f 是一个从 R\times R^n\times C^1 到 R^n\, 的泛函…
摄动理论
{{Otheruses|subject=一般的数学-{zh-tw:微擾;zh-cn:摄动}-理论|other=量子力学的-{zh-tw:微擾;zh-cn:摄动}-理论|微擾理論 (量子力學)}} 摄动理论使用一些特別的数学方法來對於很多不具精确解的问题給出近似解，这些方法从相关的較簡單问题的精确解开始入手。摄动理论將原本問題分為具有精確解的較簡單部分與不具精確解的微扰部分。摄动理论适用的问题通常具有以下性質：通过加入一个微扰项於較簡單部…
赫維茲矩陣
数学上的赫維茲矩陣或赫尔维茨矩陣（Hurwitz matrix）或劳斯–赫尔维茨矩陣（Routh–Hurwitz matrix），或是工程學中穩定性矩陣，都是結構化的實數方块矩阵，由實係數多項式的係數所組成。 另外，在工程学及穩定性理論中的赫維茲矩陣（Hurwitz matrix）或赫維茲穩定矩陣（Hurwitz stable matrix），是指每個特征值其實部都為負值的矩陣。 赫維茲矩陣和赫維茲穩定性準則 給定一個實係數的多項式 :…
伯努利微分方程
伯努利微分方程是形式如 y'+ P(x)y = Q(x)y^n\, 的常微分方程。 解法 : y'+ P(x)y = Q(x)y^{n}\, 代入 w= {y^{1-n}}\, （注意 w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y' ）： : \frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x) 此一階常微分方程可用積分因子求解。 例子 解以下微分方程。 :y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2 两边除以y^2，…
渐进稳定
如果微分方程的解既是稳定的又是吸引的，则称该解是渐近稳定的。 稳定和吸引 设微分方程\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f(t,x),x(t_0)=x^0 满足解的存在唯一性定理的条件，其解x(t)=x(t,t_0,x^0)的存在区间是(-\infty,\infty)。 f(t,x)还满足f(t,0)=0,保证x(t)=0是方程的解。 若\forall \epsilon >0 , \exists \delta…
全微分方程
全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。 定义 给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程 : I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\! 称为全微分方程，当且仅当存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得 :\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = I 以及 :\fra…
柯西-歐拉方程
柯西-尤拉方程是形式如 x^2 y + bxy' + cy = 0（其中b,c是常數）的二階變係數常微分方程。 解法 觀察可知y=x^r是一個特定解： : 0 = x^2 y + bxy' + cy : = x^2 r(r-1) x^{r-2} + b x r x^{r-1} + c x^r : = (r^2 + (b-1)r + c)x^r 因為x^r = 0若且唯若x=0，所以要考慮二次方程r^2 + (b-1)r + c = 0的…
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程，指的是形如 \frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y)的方程. 等价定义 可化为g(y)dy=f(x)dx的方程，称为可分离变量的微分方程. 一般解法(求通解) 分离变量法： 对\frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y)，若\varphi(y)\neq 0则 \frac{dy}{\varphi(y)}=f(x)dx，两边取不定积分，得 \int \frac{dy}{\v…
混合系統
混合系統（hybrid system）是同時包括連續及離散動態特性的动力系统，這類系統中同時有「流」（flow，以微分方程描述）以及跳躍（以有限状态机或自動機理論描述）的特性。有時也會用混合動態系統（hybrid dynamical system）這個詞語，比較不會和結合人工神经网络及模糊逻辑的系統，或是同時應用電子及機械的系統混唏。混合系統的好處是其結構可以包括更多種類的系統，在針對系統特性建模時也有更大的彈性。 一般而言，混合系統的…
希爾伯特第二十一問題
希爾伯特第二十一問題是希爾伯特的23個問題之一：給定P_1, \ldots, P_n \in \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \Omega := \mathbb{C} - \{P_1, \ldots, P_n\}及一個線性表示\rho : \pi_1(\Omega, x_0) \rightarrow GL(m, \mathbb{C}) (給定x_0 \in \Omega），是否存在一組\Omega 上的Fuchs方程…
加权余量法
在应用数学中，加权余量法（MWR）是求解微分方程的方法。假设这些微分方程的解通过近似函数的有限和很好地近似\phi_i。在这种情况下，所选择的加权余量法用于找到每个相应测试函数的系数值。产生的系数用于在所选择的范数中使测试函数的线性组合与实际解之间的误差最小。 表示法 本段对加权余量法中使用的符号进行简要介绍。 u(x) 表示应用MWR方法的微分方程的解。 解决上述微分方程应设置为等同于设置某些函数 R\left(x,u,u_x,\ld…
节丛
在微分几何中，节丛(jet bundle，或称射流丛、射丛)是一种特殊的构造，从给定的光滑纤维丛建立一个新的光滑纤维丛。它使得在纤维丛的截面上用一种不变形式来表达微分方程成为可能。 历史上，节丛归功于埃雷斯曼，它是嘉当的延长方法上的一个进步，该方法通过在新引入的形式化变量上加入微分形式条件的办法来以几何方式处理高阶导数。节丛有时候也称为喷射(sprays)。 导引 令E=\mathbb R^k\times B 为B上的平凡从 。则丛的截…
弱解
数学中, 微分方程的弱解或广义解是指对该方程中的微分可能不存在, 但是在某种精确定义的意义下满足该方程的解. 对于不同种类的微分方程, 弱解的定义性质也可能不同. 一类最重要的弱解基于广义函数的记号. 由于大量用于描述现实世界中现象的微分方程并不具有足够的光滑的解, 从而求解此类方程只能使用弱形式. 即使在方程确实具有可微解的情况下, 首先证明弱解的存在性然后证明弱解足够光滑是方便的. 一个具体的例子 作为弱解的说明, 考虑一阶波动方程…
自治系统 (数学)
在数学中，一个动力系统被称为自治（驻定）的，当且仅当这个系统由一组常微分方程组成，并且这些方程的表达式与动力系统的自变量无关。 在有关物理的动力系统中，自变量通常是时间。这时自治系统通常表示其中的物理规律不随时间变化的系统，也就是说空间中每一点的性质在过去、现在和将来都是一样的。 自治系统是动力系统中很重要的一个组成部分。理论上说，所有的动力系统都可以转化为自治系统。 定义 形式上来说，一个自治系统是一个常微分方程： :\frac{d}…
馬蒂厄方程
馬蒂厄方程式是一種有週期係數的線性二階微分方程。 這位法國數學家埃米爾·倫納德馬蒂厄於1868年在他的"橢圓模振動紀錄"中第一次提到這種微分方程式，也就是現在所說的馬蒂厄方程式。"馬蒂厄方程式可以適應很廣大變動的物理現象，像是繞射、振幅失真、倒立擺、漂浮物體的穩定性、射頻四極和振動" 橢圓柱小波 橢圓柱小波是一種廣泛的小波系統。其特點在於可使用多解析度分析。細節濾波器和平滑濾波器的振幅對應到奇數特徵指數的第一種馬蒂厄函數，透過選擇特徵指…
一阶常微分方程
一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形式： ::\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(x(t), t) 其中的是要解的未知函数，是函数的自变量，是一个已知的连续函数。 一阶常微分方程在物理学、生物学、化学以及各种自然与社会科学都能见到，是常见的数学模型的重要构成部分。 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程是一阶常微分方程中基础的一类。通常写成如下形式： ::\forall t \…
克萊羅方程
克萊羅方程是形式如 u = t u' + f(u') 的常微分方程。 解法 兩邊對t取導數： : u' = u' + t u + f'(u') u : 0 = (t + f'(u') ) u 由此可知u = 0或 u' = -t 。 在前面的情況， u = C t + f(C) ，稱為克萊羅方程的一般解。 後者只有一個解，其圖象是一般解的圖象的包絡線。這個奇解通常以參數方程 ( x(u'), y(u') )表示。 参见 里卡蒂方程 伯努…