柯西-歐拉方程

柯西-尤拉方程是形式如 x^2 y* + bxy' + cy = 0（其中b,c是常數）的二階變係數常微分方程。

解法
觀察可知y=x^r是一個特定解：
: 0 = x^2 y* + bxy' + cy
: = x^2 r(r-1) x^{r-2} + b x r x^{r-1} + c x^r
: = (r^2 + (b-1)r + c)x^r

因為x^r = 0若且唯若x=0，所以要考慮二次方程r^2 + (b-1)r + c = 0的解。

: r={1\over 2}\left(1-b \pm\sqrt{b^2-2b-4c+1}\right).

設p,q為二次方程的解。若p,q不相等，y的一般解則為y= A x^p + B x^q。

若p=q=(1-b)/2 ，其中一個特定解為x^r \ln{x}：

: x^2 (x^r \ln{x})* + bx (x^r \ln{x})' + c x^r \ln{x}

: = x^r ( \ln{x} (r^2 + (b-1)r + c) + 2r + b - 1)

代入r=(1-b)/2便知右方括號內等於0。因此核實x^r \ln{x}是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得：y=Ax^r + B x^r \ln{x}。

参见
*里卡蒂方程
*伯努利微分方程
*克莱罗方程
*全微分方程
*线性微分方程