黎卡提方程

黎卡提方程是形式如y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2 的常微分方程。該方程以義大利數學家雅各布·黎卡提命名。

解法
先同乘 q_2(x)，使得q_2y' = q_0q_2 + q_1q_2 y + q_2^2 y^2

再以v = y q_2代入：

: v' = v^2 + P(x)v + Q(x)；其中令 Q(x) = q_0q_2;P(x)=q_1+\frac{q_2'}{q_2} 。

再以v = -\frac{u'}{u}代入上式。

:# v'=-\left(\frac{u'}{u}\right)'=-\frac{u}{u} +\left(\frac{u'}{u}\right)^2=-\frac{u}{u}+v^2\!
则
:\frac{u*}{u}= v^2 -v'=-Q -Pv= -Q+P\frac{u'}{u}
因此
:u -Pu' +Qu=u -(q_1+\frac{q_2'}{q_2})u' +q_0q_2u=0
最终 y=-\frac{u'}{q_2u}.

施瓦茨方程上的應用
: S(w) \equiv \left(\frac{w}{w'}\right)' - \frac{\left(\frac{w}{w'}\right)^2}{2} = f

顯然可設y = \frac{w*}{w'}：
: y' - \frac{y^2}{2} = f
再代入 -\frac{2u'}{u} = y ，得線性微分方程：
: u* - \frac{1}{2} fu = 0

因為 \frac{w*}{w'} = -\frac{2u'}{u} ，積分得w' =\frac{C}{u^2}。另一方面，若線性微分方程有其他線性獨立解U，則有：
: w' = \frac{U'u-Uu'}{u^2}
: w = \frac{U}{u}

已知某一特定解
已知 y = y_1 是一特定解，可設通解y = y_1 + \frac{1}{z}，代入整理得一階線性常微分方程：

: z' + (q_1 + 2 q_2 y_1) z = - q_2

参见
*LQR控制器
*伯努利微分方程
*柯西-欧拉方程
*克莱罗方程
*全微分方程
*线性微分方程