可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程，指的是形如
\frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y)的方程.
等价定义
可化为g(y)dy=f(x)dx的方程，称为可分离变量的微分方程.
一般解法(求通解)
分离变量法：
对\frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y)，若\varphi(y)\neq 0则
\frac{dy}{\varphi(y)}=f(x)dx，两边取不定积分，得
\int \frac{dy}{\varphi(y)}=\int f(x)dx\, +c，这里\int \frac{dy}{\varphi(y)}和\int f(x)dx\,理解为某个确定的原函数，c为任意常数.
对g(y)dy=f(x)dx也是一样的解法.
初值问题（求特解）
1.不定积分法
以g(y)dy=f(x)dx为例，若给初始条件y\mid_{x=x_0}=y_0,则对g(y)dy=f(x)dx两边取不定积分，得
\int g(y)dy=\int f(x)dx+c,将初始条件代入,求得
c=c_0,再代回原方程即得所要求的特解F(x,y).
2.变上限积分法
仍以g(y)dy=f(x)dx为例，若给初始条件y\mid_{x=x_0}=y_0,对g(y)dy=f(x)dx两边取不定积分，得
G(y)=F(x)+c,其中G(y),F(x)分别为g(y),f(x)的一个原函数，代入初始条件，有
G(y_0)=F(x_0)+c\Rightarrow c=G(y_0)-F(x_0),代回原方程得特解为G(y)=F(x)+G(y_0)-F(x_0),即
G(y)-G(y_0)=F(x)-F(x_0),根据牛顿—莱布尼茨公式，可知
\int_{y_0}^{y} g(u)du=\int_{x_0}^{x}f(v)dv,在不混淆的时候，可写为
\int_{y_0}^{y} g(y)dy=\int_{x_0}^{x}f(x)dx.
所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.
若又给条件y\mid_{x=x_1}=y_1,将此条件代入G(y)-G(y_0)=F(x)-F(x_0),得
G(y_1)-G(y_0)=F(x_1)-F(x_0),即
\int_{y_0}^{y_1} g(y)dy=\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx.
参考资料
1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社
2.《高等数学（第六版）》同济大学
3.《微积分（第二版）》同济大学应用数学系
4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系
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