一阶常微分方程

一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形式：
::\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(x(t), t)
其中的是要解的未知函数，是函数的自变量，是一个已知的连续函数。

一阶常微分方程在物理学、生物学、化学以及各种自然与社会科学都能见到，是常见的数学模型的重要构成部分。

一阶线性微分方程
一阶线性微分方程是一阶常微分方程中基础的一类。通常写成如下形式：
::\forall t \in I, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t)x(t) + b(t)
其中是方程的求解范围，一般是实数集的子集。和是已知的连续函数。如果是零函数，则称此方程为齐次的，否则称其为非齐次的。

一阶齐次线性微分方程：
::\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t)x(t)
的解函数构成一个一维实线性空间：
:: S = \left\{x : \; t \mapsto c e^{\int^t a(u)\mathrm{d}u} ; \; \; c \in \mathbb{R}\right\}.

一阶非齐次线性微分方程
::\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t)x(t) + b(t)
的解函数构成一个一维实仿射空间：
:: \begin{align}
S' &= \left\{x : \; t \mapsto \left(c + \int^t b(u) e^{-\int^u a(v)\mathrm{d}v} \mathrm{d}u \right) e^{\int^t a(u)\mathrm{d}u} ; \; \; c \in \mathbb{R}\right\} \\
&= S + x^* ,
\end{align}
其中
::x^* : \; t \mapsto e^{\int^t a(u)\mathrm{d}u} \int^t b(u) e^{-\int^u a(v)\mathrm{d}v} \mathrm{d}u = \int^t b(u) e^{\int_u^t a(v)\mathrm{d}v} \mathrm{d}u
是原微分方程的一个特解。

变量分离方程
如果一个一阶常微分方程能写成如下形式：
::\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t) b(x),
则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积，其中一个只与自变量相关，另一个则只与未知函数相关。

变量分离函数可以变形为：
::\frac{\mathrm{d}x}{ b(x)} = a(t)\mathrm{d}t
的微分形式。将两端同时积分，可以得到：
::\int^x \frac{1}{b(u)} \mathrm{d} u = \int^t a(s)\mathrm{d}s + c
这便是方程的通解。由于上述关系为隐函数关系，而不是x = x(t)的形式，称为隐式解。

不少一阶常微分方程可以通过变量变换转化为变量分离方程，从而求解。

恰当微分方程
将一个普通的一阶常微分方程转写为微分的形式：
::\mathrm{d}x = f(x, t) \mathrm{d}t
将和视为变量平等看待，可以将其看作是对称的一阶微分方程：
::P(x, t)\mathrm{d}x + Q(x, t) \mathrm{d}t = 0
如果上述方程中的左侧恰好是某个二元函数的全微分：
::P(x, t)\mathrm{d}x + Q(x, t) \mathrm{d}t = \mathrm{d}U (x, t) = \frac{\partial U}{\partial x} (x, t) \mathrm{d}x +\frac{\partial U}{\partial t} (x, t) \mathrm{d}t ,
那么隐函数：
::U(x, t) = c
就是原微分方程的解函数，其中的可以是任意常数。具有这样性质的微分方程被称作恰当微分方程。要使得一个一阶常微分方程是恰当微分方程，其中的函数和必须一阶连续可微，并且满足以下的条件：
::\frac{\partial }{\partial t}P(x, t) = \frac{\partial }{\partial x} Q(x, t) .
而当以上条件满足时，也可以具体求出解函数的形式：
::U(x, t) = \int^x P(u, t) \mathrm{d}u + \int \left[ Q(x, s) - \left.\frac{\partial }{\partial t}\int^x P(u, t) \mathrm{d}u\right|_{t=s}\right] \mathrm{d}s

积分因子
如果方程
::P(x, t)\mathrm{d}x + Q(x, t) \mathrm{d}t = 0
中的函数和不满足上述的关系式，则为了将其转化为恰当微分方程，会探讨能否通过添加适当的函数，使得：
::\mu (x, t) P(x, t)\mathrm{d}x + \mu (x, t) Q(x, t) \mathrm{d}t = \mathrm{d}U(x, t)
这样的函数称为方程的积分因子。可以证明，只要原方程有解函数存在，则积分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。

解的存在性
很多情况下，需要讨论带有初值问题的一阶常微分方程，即：
::\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = f(x(t),t) , \; \; x(t_0) = x_0.
是否有解。

设为一个完备的有限维赋范向量空间，为中的一个开集，是 \mathbb R中的一个区间。函数是从×映射到中的连续函数。柯西-利普希茨定理说明了，若函数在中满足利普希茨条件，也就是说，
:: \exists \kappa >0,\ \forall t \in I,\ \forall x,y \in U,\ \left| f(x,t) - f(y,t)\right| \le \kappa \left| x - y \right|
那么对于给定的初始条件：x(t_0) = x_0，t_0 \in I、x_0 \in U，微分方程存在一个解(J,x(t))，其中J \subset I是一个包含t_0的区间，x(t)是一个从 J 映射到U 的连续函数，满足初始条件和原微分方程。同时，满足初值条件的最大解唯一存在。

参见
参考来源
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