伯努利微分方程

伯努利微分方程是形式如 y'+ P(x)y = Q(x)y^n\, 的常微分方程。

解法
: y'+ P(x)y = Q(x)y^{n}\,

代入 w= {y^{1-n}}\, （注意 w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y' ）：
: \frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)

此一階常微分方程可用積分因子求解。

例子
解以下微分方程。

:y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2

两边除以y^2，得：

:y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2

利用分离变数法，可得：

:w = \frac{1}{y}

:w' = \frac{-y'}{y^2}.

:w' + \frac{2}{x}w = x^2

它可以用积分因子的方法来解出。

:M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.

两边乘以M(x)，得：

:w'x^2 + 2xw = x^4,\,

等式的左边是wx^2的导数。两边积分，得：

:\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx

:wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C

:\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C

于是：

:y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}

参见
*里卡蒂方程
*柯西-欧拉方程
*克莱罗方程
*全微分方程
*线性微分方程

外部链接
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