悬链线

悬链线（）是一种常用曲线，物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推导出數學模型。

它的公式为：

:y = a\cosh \frac{x}{a}或者简单地表示为y=\frac{a\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)}{2}

其中cosh是雙曲余弦函数，a 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数，x軸為其準線。具体来说，a=\frac{T_0}{g\lambda}，其中g是重力加速度，\lambda是线密度（假设绳子密度均匀），而T_0是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了a
:\frac{L}{a}=\sinh\frac{d}{a}
其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

方程的推导
表达式的证明

如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则AB受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为\theta，绳子的质量为m,受力分析有：

T\sin\theta=mg；

T\cos\theta=H，

\tan\theta=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mg}{H}，

mg=\rho s，　其中s是右段AB绳子的长度，\rho是绳子线重量密度，\tan\theta为切线方向，记a=\frac \rho H, 代入得微分方程\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a s;

利用弧长公式\mathrm{d}s=\sqrt{1+(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x;

所以s=\int\sqrt{1+(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x;

再把s代入微分方程得\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a\int\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}{\mathrm{d}x}\ \cdots\cdots\ (1)

对于(1)设p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}微分处理

得 p'=\frac{\rho}{H}\sqrt{1+p^2}\ \cdots\cdots\ (2)

其中p'=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2};

对(2)分离常量求积分

\int\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int a dx

得ln(p+\sqrt{1+p^2})=ax+C，即\mathrm{arsinh} p=ax+C

其中\mathrm{arsinh} p为反双曲函数;

当x=0时，\frac{dy}{dx}=p=0；

带入得C=0；

整理得\mathrm{arsinh} p=\frac{\rho x}{H}

工程中的应用
悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。
在工程中有一种应用，a称作悬链-{}-系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：
:y = a\ \left( \cosh \frac{x}{a} -1 \right)
:
还有以下几个公式，可能也有用：
:L = a\ \sinh \frac{x}{a}
:\tan \alpha = \sinh \frac{x}{a}
:F_0 = a\ \gamma
其中L是曲线中某点到0点的链索长度，\alpha是该点的正切角，F_0是0点处的水平张力，\gamma是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

參考資料
外部連結