的物理資訊神经网络]]
物理資訊神经网络（，简称) 是一种通用函数近似器，可以在学习过程中嵌入特定物理定律的資料，这些定律满足给定数据集并以偏微分方程的形式描述。一些生物和工程系统存在資料稀缺性的问题，使得大多先进的机器学习技术在这些情境下缺乏強健性并变得无效，而PINN则能够克服这种缺陷。推导出的一组偏微分方程。满足适当的初值和边界条件的N-S方程可以定量描述特定几何形体中的流动动力学现象。然而N-S方程无法精确求解，通常需使用有限差分、有限元、有限体积等数值方法得到数值解。在此情形下，需要考虑先验假设、线性化、适当的时间和空间离散化等才能求解控制方程。
利用深度学习求解描述物理现象的偏微分方程现已经成为科学机器学习的一个新领域，得益于神经网络的通用逼近性和高表达能力。一般而言，只要提供足够的训练数据，深度神经网络就能近似任意高维函数。然而，单纯的神经网络并未考虑问题背后的物理特性，它们提供的近似精度仍然严重依赖于问题的几何形状以及初始和边界条件。在没有这些初步信息的情况下，问题的解并不唯一，同时也可能不符合物理实际。与此相对，PINN在神经网络训练过程中利用了物理上的控制方程。换句话说，PINN的设计使其不仅能经过学习以满足给定的训练数据，同时还能满足相应的控制方程。通过这种方式，神经网络可以在缺乏庞大完整数据的情形下进行训练。总体而言，当对问题的物理特性有一定了解并能提供某种形式的训练数据（即使是稀疏和不完整的数据）时，PINN可以用于获得高保真度的最优解。
PINN能够解决各类科学计算问题，是一种用于偏微分方程数值求解的开创性技术。PINN可被视为是传统计算方法（如计算流体力学 ）的无网格替代方案，以及用于模型反演和系统识别的新型数据驱动方法。值得注意的是，经过训练的PINN网络可在无需重新训练的情况下在不同分辨率的模拟网格上求解。此外，PINN还能利用自动微分来计算偏微分方程中所需的导数，近期研究亦將頻域特徵引入物理資訊神經網路，利用可微分頻譜表示建構損失函數，並透過自動微分框架計算頻域特徵對模型參數之梯度，以保留系統於頻域中的動力學特性，部分方法進一步將低頻能量比例、模態響應等頻域指標納入可微分最佳化流程，建立如Fourier-based Low-Frequency Spectral Dynamics Network，以提升模型對系統穩定度與動態演化特徵之辨識能力。
建模与计算
一般的非线性偏微分方程可表示为：
u_t + N[u; \lambda]=0, \quad x \in \Omega, \quad t \in[0, T].
其中u(t,x)表示方程的解，N[\cdot; \lambda]表示一个以\lambda的参数的非线性算子，而\Omega则是\mathbb{R}^{D}的一个子集 。这种一般形式的控制方程适用于众多数学物理中问题，例如守恒定律、扩散过程、对流扩散系统以及动力学方程等。对上述方程描述的通用动力系统，假定得到含噪声（不确定性）的测量数据，可将PINN用于解决偏微分方程中的两类问题：数据驱动求解（data-driven solution）与数据驱动发现（data-driven discovery）。
偏微分方程的数据驱动求解
偏微分方程的数据驱动求解已证明它能收敛至偏微分方程的精确解。
偏微分方程的数据驱动发现
给定系统中含噪音、不完整的测量資料z，偏微分方程的数据驱动发现
参考文献
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