非自治系统

数学中，自治系统指光滑流形上的动力方程；非自治系统（non-autonomous system）则是\mathbb R上的光滑纤维丛Q\to \mathbb R上的动力方程。这是的情形。

纤维丛Q\to \mathbb R上的r阶微分方程由Q\to \mathbb R的节丛J^rQ的闭子丛表示。Q\to \mathbb R上的动力方程是微分方程，高阶导数可用代数方法求解。

特别地，纤维丛Q\to \mathbb R上的1阶动力方程是Q\to \mathbb R上某联络\Gamma的协变微商的核。给定Q上的丛坐标(t,q^i)和1阶节流形J^1Q上的适应（adapted）坐标(t,q^i,q^i_t)，1阶动力方程为

: q^i_t=\Gamma (t,q^i).

这是哈密顿非自治力学的情形。

Q\to\mathbb R上的2阶动力方程

: q^i_{tt}=\xi^i(t,q^j,q^j_t)

定义为节丛J^1Q\to\mathbb R上的完整（holonomic）联络\xi，此方程也可用仿射节丛J^1Q\to Q上的联络表示。由于规范嵌入J^1Q\to TQ，其等价于Q的切丛TQ上的测地线方程。非自治力学中的自由运动方程是2阶非自治动力方程的例子。

另见

• 自治系统 (数学)

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参考文献

• De Leon, M., Rodrigues, P., Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics (North Holland, 1989).
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010) ().