哈尔测度
数学分析中，哈尔测度是赋予之子集一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。 这个测度由匈牙利数学家哈爾·阿爾弗雷德于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。 预备知识 对于一个局域紧豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为博雷尔代数，博雷尔代数的元素即为博雷尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左陪集和右陪集： 左陪集: :: g S = …
标签：#李群
共 51 篇文章
贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式
在数学中，贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式（）指的是下列方程中Z的解： e^Xe^Y=e^Z 其中，X和Y是李群李代数中的非对易元素。贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式有很多种写法，下列是最常见的一种： Z=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]+\frac{1}{12}[Y,[Y,X]]+\cdots 这里的\cdots表示还应有高阶项。 外部链接 , [http://www.hep.anl.gov/c…
莫比乌斯变换
在几何学-{zh:里;zh-hans:里;zh-cn:里;zh-hant:裏;zh-hk:裏;zh-tw:裡;zh-mo:裏;}-, 莫比乌斯变换是一类从黎曼球面映射到自身的函数。用扩展复平面上的复数表示的话，其形式为： :f(z) = \frac{a z + b}{c z + d} 其中 z, a, b, c, d 为满足 ad − bc ≠ 0的（扩展）复数。 莫比乌斯变换也可以被分解为以下几个变换：把平面射影到球面上，把球体进行旋…
SL₂(ℝ)
在数学中，特殊线性群 是行列式为 的 实矩阵组成的群： : \mbox{SL}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right.\,，且 ad-bc=1\Bigg\}\,． 它是一个三维李群，在几何、拓扑、表示论及物理中有重要应用． 与 密切相关的是射影线性群 。这是将 中每个元素与它的负元…
一般线性群
在數學中，n 次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。 为了使定义更明确，必需規定哪類對象可以成為矩陣的元素。例如，在 R（實數集）上的一般線性群是實數的 n×n 可逆…
李群
李群（，）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用與微分结构相容。李群的名字源於挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。 粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·…
泡利矩陣
在數學和數學物理中，包立矩陣是一組三個2×2的么正厄米複矩陣，一般都以希臘字母σ來表示，但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時，會被寫成τ。他們在包立表像（σz表像）可以寫成： :\begin{align} \sigma_1 = \sigma_x &= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \\ \sigma_2 = \sigma_y &= \begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 …
酉群
酉群，又叫幺正群，是李群的一种。在群论中，n阶酉群（）是n\times n酉矩阵组成的群，群乘法是矩阵乘法。酉群记作\text{U}(n)，是一般线性群\text{GL}(n, \mathbf{C})的一个子群。 在最简单情形n = 1，群\text{U}(1)相当于圆群，由所有绝对值为1的复数在乘法下组成的群。所有酉群都包含一个这样的子群。 酉群\text{U}(n)是一个n^2维实李群。\text{U}(n)的李代数由所有复n\ti…
定向纏結
數學與物理學中，定向纏結（）被用來提供旋量幾何的直觀概念或用來展示特殊正交群無法是單連通的。 概述 空間向量並不足以完整描述空間中的旋轉。考慮如下的例子： 房間中有一只咖啡杯，握把與對側各黏有一條彈性橡皮帶，橡皮帶的另一端則固定在房間牆壁上，如此使咖啡杯懸浮著。握把以杯碗的中心對稱軸旋轉了360°，回到原來的位置。注意到雖然杯子看似回到原始的位置定向，但其相對牆壁的定向則發生扭結。若我們將咖啡杯壓低至地板上，兩條橡皮帶將互相纏繞成雙螺旋…
指數映射 (李群)
在微分幾何中，指數映射是微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。 定義 設 M 為微分流形，\nabla: TM \to T^ M \otimes TM 為其上的仿射聯絡。給定任一點 p \in M。根據常微分方程的基本理論，存在切空間 T_p M 中的開子集 U \ni p 及光滑映射 \gamma: U \times [0,2] \to M，使得： \gamma(0,-) = p 對每個 v …
瑕旋轉
在幾何中，瑕旋轉（improper rotation）或稱為旋轉反射（rotoreflection），是一種「旋轉後再反射」的線性變換或仿射變換。正式的說： 2D：以某點作為旋轉點，將某物體對該點做旋轉後，再將該物體對某直線（例如坐標軸）做反射，這組轉換就稱為瑕旋轉。 3D：以某直線作為旋轉軸，將某物體對該軸做旋轉後，再將該物體對垂直於該軸的平面做反射，這組轉換就稱為瑕旋轉。 在 3D 中，該旋轉軸被稱為「旋轉反射軸」。如果該旋轉被分為…
矩阵指数
矩阵指数（matrix exponential）是方块矩阵的一种矩阵函数，与指数函数类似。矩阵指数给出了矩阵李代数与对应的李群之间的关系。 设X为n×n的实数或复数矩阵。X的指数，用eX或exp(X)来表示，是由以下幂级数所给出的n×n矩阵： :e^X = \sum_{k=0}^\infty{1 \over k!}X^k 以上的级数总是收敛的，因此X的指数是定义良好的。注意，如果X是1×1的矩阵，则X的矩阵指数就是由X的元素的指数所组成…
单参数群
在数学中，一个单参数群（）或称单参数子群（）通常表示从实数 R（作为加法群）到另一个拓扑群 G 的一个连续群同态 :φ : R → G. 这意味着它严格说来其实不是一个群；如果 φ 是单射，则其像 φ(R) 是 G 的一个同构于加法群 R 的子群。这就是说，我们只知道 :φ (s + t) = φ(s)φ(t) 其中 s, t 是群在 G 中的参数。我们可能有 :φ(s) = e, G 中的单位元， 对某个 s ≠ 0 成立。譬如 G …
主齐性空间
结构]] 数学上，对于 群 G的主齐性空间，或者叫 *G-旋子*（英文：torsor），是一个集合 X， G在其上自由并可递地作用。也即，X是G的齐性空间，满足每个点的定点子群都是平凡群。 在其它范畴中有类似的定义，其中 G是一拓扑群， X是一拓扑空间，而作用是连续的， *G是一李群， X是一光滑流形而作用是光滑的， *G是一代数群， X是一代数簇而作用是正则的。 定义 若 G是非交换的，则必须根据作用是在左或右分清左或右主齐性空间。本…
龐加萊群
在物理學與數學上，龐加萊群（）是狹義相對論中閔可夫斯基時空的等距同構群，由赫爾曼·閔可夫斯基引進，龐加萊群是以法國數學家亨利·龐加萊命名。它是一種有10個生成元的非阿貝爾群，在物理學上有着基礎級別的重要性。 基本解釋 等距同構是一種事物在事件間的時空軌跡上的移動方式，而這樣做是不會影響原時的。例如，所有事件被延後了兩小時，而這兩小時中包括了兩項事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那麼你的計時器所量度出的，兩事件間的時間間距會是一樣的。又…
愛因斯坦群
愛因斯坦群（），是由美國物理學家孟德爾·薩克斯在其完成阿爾伯特·愛因斯坦未竟的統一場論時所發現的變換群，此一變換群也是愛因斯坦晚年所探求的目標之一。 愛因斯坦的陳述 阿爾伯特·愛因斯坦在研究期待中的統一場論時，探求過此一變換群，他寫道： 龐加萊群 狹義相對論的變換群——龐加萊群，具有正交的性質，其反元素為自身的轉置，從而引入了離散反射的效果。龐加萊群違背了上述愛因斯坦的格言：「這變換群不能比四維座標的連續變換還狹義。」特別來說，任意一對…
勞侖茲群
(1853–1928)，勞侖茲群以其姓氏命名。]] 物理學與數學中，勞侖茲群（）為閔可夫斯基時空中，所有勞侖茲變換所構成的群，其涵蓋了除了重力現象以外的所有古典場。勞侖茲群是以荷蘭物理學家亨德里克·勞侖茲來命名。 以下領域的數學形式： 狹義相對論中的運動學 電磁學理論中的馬克士威方程組 電子理論中的狄拉克方程式 在勞侖茲變換下皆保持不變。因此勞侖茲群展現了許多自然定律的基礎對稱性。 基本性質 勞侖茲群是龐加萊群的子群。龐加萊群是閔可夫斯…
自守形式
數學上所謂的自守形式（），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。 龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。 古典定義 設 \Gamma 為作用於複區域 D 的離散群。取定自守因子 j_{\gamma}(x), \;(\gamma…
緊群
在數學中，緊群（）是其拓撲為緊緻的拓撲群。緊群是帶有離散拓撲的有限群的自然推廣，并以顯著方式延續了一些性質。緊群的理論已被人们深入研究，與群作用和群表示論有關。 下面我們假定所有群都是豪斯多夫空間，因為這個覆蓋了所有有價值的情況。 緊李群 李群形成最好一類拓撲群，而緊李群有特別良好開發的理論。緊李群的基本例子包括 圓群 T 和環面群 Tn， 正交群 O(n)，特殊正交群 SO(n) 和它的覆蓋旋量群 Spin(n)， 酉群 U(n) 和…
特殊酉群
在数学中，n 阶特殊酉群（），记作 \operatorname{SU}(n)，是行列式为 1 的 n\times n 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 n\times n 酉矩阵组成的酉群 \operatorname{U}(n) 的一个子群，酉群又是一般线性群 \operatorname{GL}(n, \mathbb{C}) 的一个子群。 群 \operatorname{SU}(n)…