特殊酉群

在数学中，n 阶特殊酉群（），记作 \operatorname{SU}(n)，是行列式为 1 的 n\times n 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 n\times n 酉矩阵组成的酉群 \operatorname{U}(n) 的一个子群，酉群又是一般线性群 \operatorname{GL}(n, \mathbb{C}) 的一个子群。

群 \operatorname{SU}(n) 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 \operatorname{SU}(2) 在电弱相互作用与 \operatorname{SU}(3) 在量子色动力学中。

最简单的情形 \operatorname{SU}(1)，是平凡群，只有一个元素。群 \operatorname{SU}(2) 同构于範數为 1 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 \operatorname{SU}(2) 到旋转群 \operatorname{SO}(3)，其核为 \{+I, -I\}。

性质
特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。

SU(n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

:\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}

另外，算子

:\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}

满足

:\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1。

生成元
一般地，SU(n) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即

:*\operatorname{tr}(T_a) = 0 ,\,
以及
:* T_a = T_a^\dagger .\,

基本表示
在定义或基本表示中，由 n\times n 矩阵表示的生成元是：
:*T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} \,
:这里系数 f 是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 d 对所有指标都是对称的。
从而
:*\left[T_a, T_b \right]_+ = \frac{1}{n}\delta_{ab} + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \,
:*\left[T_a, T_b \right]_- = i \sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} \,

我们也有
:*\sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} \,

作为一个正规化约定。

伴随表示
在伴随表示中，生成元表示由 (n^2-1) \times (n^2-1) 矩阵表示，其元素由结构常数定义：
::* (T_a)_{jk} = -if_{ajk} \,

SU(2)
\operatorname{SU}_2(\mathbb{C}) 一个一般矩阵元素形如

:U =
\begin{pmatrix}
\alpha&-\overline{\beta}\\
\beta&\overline{\alpha}
\end{pmatrix}

这里 \alpha,\beta\in\mathbb{C} 使得 |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1。我们考虑如下映射 \varphi : \mathbb{C}^2 \to \operatorname{M}(2,\mathbb{C})，（这里 \operatorname{M}(2,\mathbb{C}) 表示 2×2 复矩阵集合），定义为

:
\varphi(\alpha,\beta) =
\begin{pmatrix}
\alpha&-\overline{\beta}\\
\beta&\overline{\alpha}
\end{pmatrix}.

考虑到 \mathbb{C}^2 微分同胚于 \mathbb{R}^4 和 \operatorname{M}(2,\mathbb{C}) 同胚于 \mathbb{R}^8，我们可看到 \varphi 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 \varphi 限制在三维球面上，记作 S^3，我们可发现这是三维球面到 \operatorname{M}(2,\mathbb{C}) 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 \varphi(S^3) = \operatorname{SU}_2(\mathbb{C})，作为一个流形微分同胚于 \operatorname{SU}_2(\mathbb{C})，使 \operatorname{SU}_2(\mathbb{C}) 成为一个紧连通李群。

现在考虑李代数 \mathfrak{su}_2(\mathbb{C})，一个一般元素形如

:
U' =
\begin{pmatrix}
ix & -\overline{\beta}\\
\beta & -ix
\end{pmatrix}

这里 x \in \mathbb{R} 以及 \beta \in \mathbb{C}。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

:
u_1 = \begin{pmatrix}
0 & i\\
i & 0
\end{pmatrix}
\qquad
u_2 = \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
u_3 = \begin{pmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{pmatrix}

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 u_3u_2 = -u_2u_3 = u_1 和 u_2u_1 = -u_1u_2 = u_3。从而交换子括号由

:
[u_1,u_3]=2u_2, \qquad [u_2,u_1] = 2u_3, \qquad [u_3,u_2] = 2u_1.

确定。上述生成元与泡利矩阵有关，u_1 = i\sigma_1, u_2 = -i\sigma_2 及 u_3 = i\sigma_3。

SU(3)
SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为
::T_a = \frac{\lambda_a}\sqrt{2} .\,
这里 \lambda \, 为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。

它们服从关系
:*\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,
:这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为
::f^{123} = 1 \,
::f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,
::f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,

d 的取值：
::d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,
::d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,
::d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,

李代数
\mathrm{SU}(n) 对应的李代数记作 \mathfrak{su}(n)。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 n \times n 复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 i，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 \mathfrak{su}(n) 是 \mathbb{R} 上一个李代数。

例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 \mathfrak{su}(2) 在 \mathbb{R} 上的一组基：
:i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}
:i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
:i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
（这里 i 是虚数单位。）

这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 i）一起
: i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}
它们也是 \mathfrak{su}(2) 的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 \mathrm{Cl}_3，而在交换子括号下生成李代数 \mathfrak{su}(2)。

回到一般的 \mathrm{SU}(n)：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 n \times n 矩阵子空间组成一个 n - 1 维嘉当子代数。

将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 n \times n 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 \mathrm{h} 只是 n - 1 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 i 个基向量是在第 i 个对角元素为 1 而在其它处为零的矩阵。则权由 n 个坐标给出，而且在所有 n 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故 \mathrm{SU}(n) 的秩是 n - 1，它的邓肯图由 A_{n - 1} 给出，有 n - 1 个顶点的链。

它的根系由 n(n - 1) 个根组成，生成一个 n - 1 欧几里得空间。这里，我们使用 n 冗余坐标而不是 n - 1 坐标来强调根系的对称（n 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 n - 1 维向量空间嵌入 n-维中。则根由所有 n(n - 1) 置换 (1, -1, 0, \dots, 0)。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为
:(1, -1, 0, \dots, 0),
:(0, 1, -1, \dots, 0),
:…,
:(0, 0, 0, \dots, 1, -1).

它的嘉当矩阵是
: \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\-1 & 2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix} .

它的外尔群或考克斯特群是对称群 S_n，(n - 1)-单形的对称群。

广义特殊酉群
对一个域 F，*F 上广义特殊酉群* SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F* 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。

特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有

:M \in SU(p,q,R)

满足

:M^{*} A M = A \,

:\det M = 1. \,

经常可以见到记号 SU_{p,q} 略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是
:
A
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & i \\
0 & I_{n-2} & 0 \\
-i & 0 & 0
\end{bmatrix}.

对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

例子
这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 HC^2 上作用的基本-{域}-，参见 [https://web.archive.org/web/20090830220526/http://www.esi.ac.at/Preprint-shadows/esi1273.html]。

另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。

重要子群
在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1：
:
SU(n) \supset SU(p)\times SU(n-p) \times U(1).

为了完整性，还有正交与辛子群：
:
SU(n) \supset O(n)

:
SU(2n) \supset USp(2n).

因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群：
:
SO(2n) \supset SU(n)

:
USp(2n) \supset SU(n)

:
Spin(4) = SU(2) \times SU(2)
（参见自旋群）
:
E_6 \supset SU(6)

:
E_7 \supset SU(8)

:
G_2 \supset SU(3)
（关于 E6, E7 与 G2 参见单李群）。
有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

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