旋轉群
在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間\mathbb{R}^3的原點的旋轉及旋轉的複合組成的群稱為三維旋轉群，有時會用SO(3) 來表示。 關於原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。兩個旋轉的複合是一個新的旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉。\mathbb{R}^3上的恆等函數滿足旋轉的定義，可以作為群的單位元。旋轉的複合運算滿足結合律。由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。…
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希钦系统
数学中，希钦可积系统是奈杰尔·希钦 (1987)提出的一类可积系统，取决于复约化群与紧黎曼曲面的选择。希钦系统是代数几何、李群理论和可积系统理论的交叉，通过共形场论，还在复数域上的几何朗兰兹对应中发挥重要作用。 希钦系统的0亏格类似物是卡尼尔可积系统，是勒内·卡尼尔发现的Schlesinger方程的某个极限，通过定义谱曲线解决了他的系统（卡尼尔系统是高丹模型的经典极限。Schlesinger方程是克尼日尼克–扎莫洛奇科夫方程的经典极限）…
典型群
在數學中，典型群（）指與歐幾里得空間的對稱性密切相關的四類李群。所謂「古典」的使用取決於當下語境，有一定的靈活性。這個用法可能源於赫爾曼·外爾在1939年發表的專著《古典群：它們的不變量和表式》。在菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領觀點下，也許反映了它們和“-{zh-hans:經典;zh-hant:古典;}-”幾何（）的關系。 古典群是最被深入研究的線性李群，多數的古典群在古典物理與近代物理皆有應用。例如， \operatorname{SO…
乒乓引理
群論中，乒乓引理（ping-pong lemma）給出了一個充分條件，保證一個群中數個子群所生成的群是這些子群的自由積。 歷史 使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期，通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用，他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中，證明著名的蒂茨兩擇性（Tits alternative）結果，一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何有限生成的線性群，或是一個逼肖可解群（virtually so…
根系 (数学)
在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。 定義 設 V 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 (,)。V 中的根系是有限個向量（稱為根）構成的集合 \Phi，滿足下述條件： \Phi 的元素張出 V。 對任一 \alpha \in \Phi，其屬於 \Phi 的純量倍數只有 \pm \alpha。 對任意 …
旋量群
数学中，旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆叠，使得存在李群的短正合列： :1 \to \mathbb{Z}_2 \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1 。 对 n > 2， Spin(n) 单连通，从而是 SO(n) 的万有覆叠空间。作为李群 Spin(n) 及其李代数和特殊正交群 SO(n) 有相同的维数 n(n − 1)/2。 Spi…
齐性空间
在数学上，特别是李群、代数群与拓扑群的理论中，群G的齐性空间（）是指一个非空流形或拓扑空间X，G传递地作用在X上，G中的元素称之为X的对称。一个特例是空间X的自同构群，这里自同构群可以是等距同构群、微分同胚群或是同胚群。在这些例子中，如果在直观上将X的任意局部视作相同，则X是齐性的。像是等距同构（刚体几何）、微分同胚（微分几何）或是同胚（拓扑）。一些作者要求G的作用是有效的（或忠实），不过本文并不要求这样。从而X上存在可以想象为保持X上…
希尔伯特第五问题
希尔伯特第五问题，即是否所有连续群都是可微群的问题。它由德国著名数学家大卫·希尔伯特在1900年的国际数学家大会提出，是当时他提出的23个问题之一。1953年日本数学家山边英彦（）证明了这个问题的答案是肯定的。
正交群
数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由 :\mathrm{O}(n,F) = \{ Q \in \mathrm{GL}(n,F) \mid Q^T Q = Q Q^T = I \} \;给出。 这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。 更一般地，F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描…
马尤厄-嘉当形式
数学上，一个李群G的Maurer-Cartan形式是一个特别的微分形式，它包含关于这个李群的结构的基本的无穷小信息。它被埃里·嘉当多次使用，作为他的移动标架法的基本组成。 设g=T_eG是李群在幺元的切空间(它的李代数)。G可以由左平移作用在自身 :L_h:G\ni k\mapsto hk\in G, 这个诱导出切丛到自身的一个映射 :(L_h)_:T_kG\rightarrow T_{hk}G. 一个左移不变向量场是TG的一个截面，使…
單李群
在數學中，單李群是不含非平凡的連通正規李子群的連通李群。另一個等價的定義是：單李群是對應到單李代數的連通李群。 單李群是李群理論中的基本構件，依照其李代數的複化，可以分成三族典型群，與有限個例外李代數。前者在幾何學與數論中的應用有悠久歷史，而後者則涉及數學中的某些特殊配置與當代理論物理學。在應用上，我們通常會考慮更一般的半單李群或約化群。約化群的表示是當前數學的熱點之一。 分類 單群的分類法是先考慮其李代數的複化，並分類相應的根系。為了…
外尔群
在數學裡，尤其是在李群的理論中，一根系的外尔群是指經由正交於根之超平面的鏡面而產生之根系的等距同構群之子群。例如，根系A2包含中心為原點之正六邊形的角。根系的對稱之整個群因此是有12階的二面體群。外尔群產生於將六邊形平分成兩半的線之鏡射；其為6階的二面體群。 半單李群、半單李代數和半單線性代數群等之外尔群為群或代數之根系的外尔群。 除去由Φ的根所定義之超平面會將歐幾里得空間切成有限個開領域，此領域稱為外尔腔。這些領域可以被外尔群的群作用…
射影线性群
射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为\mathbb{K}的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群： :\mathbb{P}\mathcal{GL}(V) = \mathcal{GL}(V) \bigg/ \mathbb{K}(V) 其中的\mathcal{GL}(V)是V上的一般线性群，而\mathbb{K}(V)是由…
SO(3)上的卡
在数学中，三维空间内的特殊正交群，也被称为旋转群的SO(3)，是一个典型的流形。在不同的SO(3)上的卡中，建立的坐标系互不相同:从这个角度讲，不能说哪种参数很适合描述旋转。由于存在三个自由度，因此SO(3)的维数是3。在不同的应用中需要使用不同的坐标系，因此如何从一个坐标系转换到另一个坐标系是一个潜在的问题。 旋转空间 在几何中，旋转群是所有关于三维欧几里得空间R3原点的，具有复合函数的旋转矩阵组成的群。 根据定义，关于原点的旋转是保…
盖尔曼矩阵
]] 盖尔曼矩阵，以物理學家默里·蓋爾曼命名，為SU(3)群無窮小生成元的一種表象。此群的李代數維度為8，因此有8組線性獨立的生成元，可寫為g_i，i值從1到8。 特殊表象 \lambda_i（i=1到8）表示如下： : 这八个\lambda_i矩阵是厄米的，满足对易关系： :[g_i, g_j] = if^{ijk} g_k \, 其中， :g_i = \frac{\lambda_i}{2} \, 上面出现的g_i是按照“归一化”条件…
圓群
在數學裡，圓群標記為T，為所有模為1之複數所組成的乘法群，即在複數平面上的單位圓。 :\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}. 圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×的子群。由于C×可交換，T也是可交換的。 圓群的符號T源自於Tn（n個T的直積）幾何上是個n-環面的此一事實。而圓群即正是一個1-環面。 基本介紹 思考圓群的一種方法是描述其「角度」如何相加，其中只有0至360度的角度是被允許的…
泊松李群
泊松李群 (Poisson-Lie group) 是一种几何结构，也是李群和泊松流形，而且两种结构自洽。它的李群直积 G\times G\longrightarrow G是泊松映射。它是經典力學和泊松几何学的有力的例子，也是表示論研究对象之一。 它在无穷小尺度的形式就是李双代数。 定义 泊松-李群是一个具有泊松括号的李群 G，其群乘法定义为 \mu:G\times G \to G，其中 \mu (g_1,g_2)=g_1g_2 为泊松映…
基灵型
在数学中，基灵型（），是在李群与李代数理论中起着基本作用的一个对称双线性形式。它以数学家威廉·基灵命名，但事实上基灵型是埃利·嘉当发现的，而嘉当矩阵则属于威廉·基灵。 定义 考虑域 K 上一个李代数 g，g 中任何元素定义了 g 的一个伴随同态 ad(x)（也记作 adx），用李括号表示为： :ad(x)(y) = [x, y] 现在假设 g 是有限维，两个这样的同态的复合的迹定义了一个对称双线性形式 :B(x, y) = trace(…
极大紧子群
数学中，一个拓扑群 G 的极大紧子群 K 是一个在子空间拓扑下是紧空间的子群，且是这些子群中的极大元。 一个一般李群不一定有极大紧子群，但半单李群却一定存在，而且他们在理论中有重要地位。极大紧子群一般不是惟一的，但在相差一个共轭的意义下是惟一的——他们是本质惟一的。 例子 一个好例子是正交群 O(2)，是一般线性群 GL(2,R) 的极大紧子群。一个相关的例子是循环群 SO(2)，是SL(2, R)的极大紧子群。显然 SO(2) 在 G…
比安基分类
数学中，比安基分类（），以路易吉·比安基命名，将3维实李代数分为11类，其中9个是单独的组，另两类具有连续统同构类。（有两个组有时也包含在无穷族中，从而分为9类。）“比安基分类”也用于其它维数的类似分类。 小于3维之分类 0维：惟一的李代数是阿贝尔李代数 R0。 1维：惟一的李代数是阿贝尔李代数 R1，其外自同构群是非零实数群。 2维：有两个李代数： ::(1) 阿贝尔李代数 R2，其外自同构群为 GL2(R)。 ::(2) 秩为零的 …