群論中，乒乓引理（ping-pong lemma）給出了一個充分條件，保證一個群中數個子群所生成的群是這些子群的自由積。
歷史
使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期，通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用，他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中，證明著名的蒂茨兩擇性（Tits alternative）結果，一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何有限生成的線性群，或是一個逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一個秩2的自由子群。乒乓引理及其引申結果廣泛應用於幾何拓撲學及幾何群論。
定理敍述
設G為群，作用在集合X上，H1和H2是G的非平凡子群，H是H1和H2生成的群。若X有兩個不交非空子集X1和X2，使得
*對所有1\ne a\in H_1，都有a(X_2) \subset X_1
*對所有1\ne b\in H_2，都有b(X_1) \subset X_2
則H是H1和H2的自由積，即H=H_1 H_2，或者\left|H_1\right| = \left|H_2\right| = 2，而H*是二面體群。
證明
設w是用H1和H2的元素寫出的非空簡約字。若w=a_1b_1a_2b_2\cdots a_k，其中a_i\in H_1\setminus \{1\}，b_i\in H_2\setminus \{1\}，則
:\begin{align}w(X_2) &= a_1b_1\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_k(X_2) \\
&\subset a_1b_1\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_1)\\
&\subset a_1b_1\cdots a_{k-1}(X_2)\\
&\subset \cdots \subset X_1\end{align}
故w\ne 1。同上得w=b_1a_2b_2a_3\cdots b_k\ne 1。
若H1和H2的階不都等於2，不失一般性，假設\left|H_1\right|>2。若w=a_1b_1a_2b_2\cdots b_k，取a\in H_1\setminus\{1,a_1^{-1}\}，則1 \ne aa_1 \in H_1，故由上可知
:awa^{-1}=aa_1b_1a_2b_2\cdots b_k a^{-1}\ne 1，
得w\ne 1。若w=b_1a_2b_2\cdots a_k，取a\in H_1\setminus\{1,a_k\}，則1 \ne a_ka^{-1} \in H_1，同上可得awa^{-1}\ne 1，故w\ne 1。因此得出H=H_1 * H_2。
若\left|H_1\right| = \left|H_2\right| = 2，令H_1=\{1,a\}，H_2=\{1,b\}。從上可知若有以a, b寫出的非空簡約字w等於1，則w只可能是ab\cdots ab或ba\cdots ba，故對某些數n > 0有(ab)^n=1。取其最小者的值為n，則H為二面體群D_{2n}。若無如此簡約字w，則H=H_1 * H_2。
推廣
乒乓引理可以推廣至數個子群的情形：
設G為群，作用在集合X上。又設H1, H2, ... , Hk是G的非平凡子群，且當中至少一個的階不小於3。若X有兩兩不交的非空子集X1, X2, ... , Xk，使得當i\ne j時，對所有1\ne a\in H_i，都有a(X_j) \subset X_i。則H1, H2, ... , Hk所生成的群是其自由積，即
:\langle H_1,\cdots, H_k\rangle=H_1 H_2 \cdots * H_k。
這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。
應用例子
特殊線性群
矩陣\begin{pmatrix} 1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}和\begin{pmatrix} 1 & 0\\2 & 1\end{pmatrix}在特殊線性群SL(2,\mathbb Z)中生成的子群是秩2的自由群。
證明
群SL(2,\mathbb Z)以線性變換作用在平面\mathbb R^2上。
設這兩個矩陣各自生成子群
:H_1=\left\langle\begin{pmatrix} 1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}\right\rangle
=\left\{\left.\begin{pmatrix} 1 & 2n\\0 & 1\end{pmatrix}\right\vert n\in\mathbb Z\right\}
:H_2=\left\langle\begin{pmatrix} 1 & 0\\2 & 1\end{pmatrix}\right\rangle
=\left\{\left.\begin{pmatrix} 1 & 0\\2n & 1\end{pmatrix}\right\vert n\in\mathbb Z\right\}
又設平面的兩個不交子集為
:X_1=\left\{\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\in \mathbb R^2 : |x|>|y|\right\}
:X_2=\left\{\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\in \mathbb R^2 : |x|
H1, H2都同構於無限循環群。因為H1, H2, X1, X2適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出H1, H2生成的群為其自由積，而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。
參考
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