射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为\mathbb{K}的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群：
:\mathbb{P}\mathcal{GL}(V) = \mathcal{GL}(V) \bigg/ \mathbb{K}(V)
其中的\mathcal{GL}(V)是V上的一般线性群，而\mathbb{K}(V)是由V上的所有数乘变换构成的\mathcal{GL}(V)的子群。之所以在\mathcal{GL}(V)中约去\mathbb{K}(V)，是因为它们在射影空间上的作用是平凡的（所以构成群作用的核）。\mathbb{K}(V) 有时也被记作 \mathcal{Z}(V)，因为它是一般线性群的中心。
与射影线性群类似的还有射影特殊线性群，一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似，只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。
:\mathbb{P}\mathcal{SL}(V) = \mathcal{SL}(V) \bigg/ \mathcal{SZ}(V)
其中的\mathcal{SL}(V)是V上的特殊线性群，而\mathcal{SZ}(V)是\mathbb{K}(V)在\mathcal{SL}(V)中的子群（即行列式等于1的数乘变换构成的子群）。几何的解释是：实射影直线是有向的，而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。
射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义，一个重要的例子是模群\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{Z})。
参考来源
Allgemeine lineare Gruppe#Projektive lineare Gruppe
评论 (0)