引理
引理，又稱輔助定理，簡稱輔理 （ 古希臘語: λῆμμα, ）是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤的已證明命题，其意义并不在于自身已完成证明，而在于其为了达成最终目的而作出贡献。 一个引理可用于证明多个结论。数学中存在很多著名的引理，这些引理可能对很多问题的解决有帮助。例如欧几里得引理、乌雷松引理、德恩引理、法图引理、高斯引理、中山引理、阿貝爾引理、庞加莱引理、里斯引理和佐恩引理等。 引理和定理没有严格的区分。 参见 推论 各種數學…
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Up to
在数学领域，詞組“up to xxx”表示为了某种目的同一等价类中的元素视为一体。“xxxx”描述了某种性质或将中元素变为同一等价类中另一个的操作（即将元素和它变为的那个等价）。例如在群论中，我们有一个群G作用在集合X上，在此情形：如果X中两个元素在同一轨道中，我们可以说它们等价“up to群作用”。 中文中没有类似对应的词组，翻譯成中文時，可以斟酌譯為：「不別⋯⋯之異」、「不辨⋯⋯之別」、“在xxx的意义下”、“差一个xxx”等。比如…
广义逆阵
广义逆（Generalized inverse），是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵，是指具有部份逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假設一矩陣A \in \mathbb{R}^{n\times m}及另一矩陣A^{\mathrm g} \in \mathbb{R}^{m\times n}，若A^{\mathrm g}滿足 AA^{\mathrm g}A = A，則A^{\mathrm…
定义
定義（）指对某个概念（词语、短语或一组符号）进行的简要并完整的陈述，透過列出一個事件或者一個物件的基本屬性，來描述、解釋、說明、規範一個词语、一個概念、一个事物的意義；被定義的事物或物件叫做被定義項，其定義叫做定義項。 定义是人为订定的，是用以规范词语或概念的陈述，属于一种规定，并非推理的结论。定义必须具备明确性和完整性，以防止误解；定义应避免循环性、笼统性、情绪性，且最好不用相反词语来界定。 定义 定义有不同的方式和技术： 詞法定義描…
猜想
Re(s)在臨界線Re(s) = 1/2上的實部（紅色）及虛部（藍色）。頭幾個非平凡的零點出現在Im(s) = ±14.135, ±21.022 and ±25.011。黎曼猜想認為黎曼ζ函數的所有非平凡零點都在臨界線上]] 數學中的猜想是在根據不完全資訊下的結論及命题，是不知其真假的數學敘述，它可能為真，暫時未被證明或反證 。某些猜想會稱為「假設」，尤其是當它是針對某些問題提出的答案。 像黎曼猜想（目前仍然是猜想）或是費馬最後定理（以…
系理
在數學上，系、系理（），或稱推论，即必然的結果，指能够“简单明了地”从前述命题推出的论断，推论往往在定理后出現。如果命题B能够被简单明了的从命题A推导出，则稱B为A的推论。 推论、定理、命題等术语的使用区别往往是比较主观的，因为“简单明了”的定义本来就与作者及上下文相关。当然，推论一般被认为不如定理重要。 參見 逻辑 推理 *各種數學敘述
半群
在数学中，半群（）是闭合于结合性二元运算之下的集合 S 构成的代数结构。 半群的运算经常指示为乘号，也就是 x\cdot y 或简写为 xy 来指示应用半群运算于有序对 (x, y) 的结果。 半群的正式研究开始于二十世纪早期。自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动机之间有自然的联系。 定义 集合S和其上的二元运算·:S×S→S。若·满足结合律，即：∀x,y,z∈S，有(x·y)·z=x…
韋達跳躍
韋達跳越（）是一個處理數論的數學證明技巧。通常是藉韋達定理，來對根進行無窮遞降法。 歷史 韋達跳越在国际奥林匹克数学竞赛（）裡是一個相對較新的數論解題技巧，在1988年IMO第一次出了這類的題目，且被認為是當年最難的題目。Arthur Engel 曾寫了關於這問題的一段描述： 在十一名學生中，有一名即為知名的菲爾茲獎得主吳寶珠。 標準型韋達跳躍 標準型韋達跳躍的中心概念是反證法，由下列步驟所組成： #假設存在一個不符合題意的解。 #借由…
階加
在数学中，正整数的阶加（）是所有小于及等于该数的正整数的和，计为。例如： : 5? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \,. 根据空和的惯例，的值为。 该术语是由高德纳在《计算机程序设计艺术》中创造的。它是从到的整数的积的階乘函数的加法模拟。他用它来说明域从正整数到实数的扩展。 正整数的阶加也称为三角形數。最初的几个是 : 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 9…
逐点
在数学中，限定词逐点（）用於表明考虑某函数f 的每一个值f(x) 的确定性质。一类重要的逐点概念是逐点运算，这种运算是定义在函数上的运算，是将定义域上的每一点的函数值分别进行运算。重要的关系也可以被定义为逐点的。 逐点算子 例子包括： :逐点加法：(f+g)(x) = f(x)+g(x)\, :逐点乘法：(f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) :与标量的逐点乘法：(\lambda f)(x) = \lambda …
逆命题
在逻辑学中，逆命题（）是一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件时，这两个命题互逆，也就是说其中任一个命题是另一个命题的逆命题。 两个互为逆命题的命题。在命题的四种形式中，原命题与逆命题，否命题与逆否命题是两对互逆命题。比如说有“假如事件A为真，则事件B也为真”，那么它的逆命题就是“假如事件B为真，则事件A也为真”。因为这类命题的真值与原命题的真值无关，因此无法通过原命题的真假性来判断逆命题的真假性。 给予初始实质条件命题“若P…
M/M/1
M/M/1排隊模型（M/M/1 model）是一種單一服务台（single-server）的（排隊模型），可用作模擬不少系統的運作。 依據必須有下列的條件： 到達時間卜瓦松過程（Poisson process）； 服務時間是指數分佈（exponentially distributed）； 只有一个服务台（server），遵循先到先服务规则 隊列長度無限制 可加入隊列的人數為無限 分析 這種模型是一種出生-死亡過程，此隨機過程中的每一個狀…
病态 (数学)
是无处不连续的，但任何一处都不可微]] 在数学中，病态（）现象是指其性质被认为是非典型的或反直觉的现象，反义词为良态（Well-behaved）。 在分析学中 一个经典的例子的病态结构是魏尔斯特拉斯函数，它处处连续但处处不可微。可微函数和魏尔斯特拉斯函数的总和也是连续的，但是无处可微；所以这种函数至少与可微函数一样多。事实上，由贝尔纲定理之一可以显示，连续函数通常是无处可微的。 通俗地说，大多数函数都不可微，而且相对较少的函数可以被描述…
最小上界性
数学中，最小上界性（亦称上确界性，） 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价 。 集合具有最小上界性当且仅当的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。 性質概述 實數 令S為實數集的一個非空子集。 如果實數x大於或等於所有S中的元素，則x稱為S的上界。 如果實數x是S的上界，并且x小於或等於所有S的上界，則x稱為S的最小上界。 最小上界性的表述為 : 所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。 一般序…
底數 (指數)
底數（，base number）又稱基數，常簡稱為底，是指數函數b^x中的b，或是對數函數\log_b中的b。 指數函數 在指數b^n中，數字n稱為指數，也常表示為b的n次方。例如，10的四次方是10,000，因為。 方根 若b的n次方等於a（a = bn），則b稱為是a的n次方根。例如，10是10,000的四次方根。 對數 底為b的指數函數，其反函數（假設定义良好）稱為底為b的对数，寫成logb。因此 :logb a = n. 例如，…
子基
子基（）是拓撲學的一種概念，具有拓扑结构\tau的拓扑空间X的子基B是\tau的一個子集合，使得B能夠生成\tau。\tau是最小能夠包含B的拓扑結構。一個拓撲可以有不同的子基，但由子基確定唯一的拓撲。 參考來源 外部參考 *[http://chowkafat.net/Math/Topological_space.pdf 數學示例：拓撲空間]
计算
計算（）是一種將「單一或多個的輸入值」轉換為「單一或多個的結果」的一種思考過程。 計算的定義有許多種使用方式，有相當精確的定義，例如使用各種算法進行的「算术」，也有較為抽象的定義，例如在一場競爭中「策略的計算」或是「計算」兩人之間關係的成功機率。 將7乘以8（7x8）就是一種簡單的算術。 利用布莱克-斯科尔斯模型來算出財務評估中的公平價格（fair price）就是一種複雜的算術。 從投票意向計算評估出的選舉結果（民意調查）也包含了某種…
充分必要条件
充分必要條件，簡稱充要條件，是逻辑学中用于描述两个陈述之间的条件关系或包含关系的术语。 在逻辑学中： 当命题「若P則Q」为真时，P称为Q的充分条件，Q称为P的必要条件。 因此： 当命题「若P則Q」與「若Q則P」皆为真时，P是Q的充分必要条件，同时，Q也是P的充分必要条件。 当命题「若P則Q」为真，而「若Q則P」为假时，我们称P是Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件，反之亦然。 充分條件 P是Q的充分條件，代表「如果P是真，則Q是真…
二次函数
在数学中，二次函数（）表示形为 f(x)=ax^2+bx+c \,\!（a \ne 0 \,\!，且a、b、c是常数）的多项式函数，其中，x为自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 二次函数表达式ax^2+bx+c的定义是一个二次多项式，因为x的最高冪次是2。 如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。 历…
不變量 (數學)
不变量是指数学对象某個属性在经运算或变换后依然保持不变。例如三角形的面积是平面等距同构時的不变量。不变量广泛应用于数学的各个领域，例如几何学、拓扑学、代数和离散数学。一些重要的变换概念就是由不变量定义的。例如共形映射被定义为保持角度不变的平面变换。 參考來源