階加

在数学中，正整数的阶加（）是所有小于及等于该数的正整数的和，计为。例如：

: 5? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \,.

根据空和的惯例，的值为。

该术语是由高德纳在《计算机程序设计艺术》中创造的。它是从到的整数的积的階乘函数的加法模拟。他用它来说明域从正整数到实数的扩展。

正整数的阶加也称为三角形數。最初的几个是

: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

历史
18世纪以来，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）和其他一些数学家一直试图将阶乘函数的域扩展到实数甚至复数，并最终提出了Γ函数。1997年，高德纳在他的《计算机程序设计艺术》引入了阶加函数，作为阶乘的加法模拟，以便说明域扩展的含义。

定义
阶加函数由和定义

: n? = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n\,,

最初整数。这可以用求和符号表示为

: n? = \sum_{i = 1}^{n} i.

从这些公式，可以得出遞迴關係式

: n? = n +(n-1)? \,.

例如：

: \begin{align}
5? &= 5 + 4? \\
6? &= 6 + 5? \\
50? &= 50 + 49?
\end{align}

可以使用等差数列的求和公式来计算阶加函数：

: n?=\frac{n(n+1)}{2} \,.

例如：100? = \frac{100\times101}{2}=5050

零的阶加
为了将递推关系扩展到，有必要定义

: 0? = 0

所以

: 1? = 1 + 0? = 1.

非整数的阶加
非整数值的阶加函数也可以使用公式n?=\frac{n(n+1)}{2}。

例如：(\frac{1}{2})? = \frac{3}{8}

应用领域
阶加在数学中不常使用，但它仍然在一些领域应用，如组合数学。

• 对于个不同的元素，組合个元素的方法数量等于。这就是说

:: {n \choose 2} = (n-1)?\,.

• 在玩4個4时，阶加可以是找到所需表达式的有用工具，尤其是在规则不允许使用小數點和平方根的情况下（这是因为数字和是不可用的）。例如：

:: 13=4?+4-4\div4
:: 18=4!+4?-4\times4

阶加的和和函数
双阶加
类似于双阶乘，所有奇数直到某个正奇整数的和称为的双阶加，和表示为。定义为

: (2k-1)?? = \sum_{i=1}^k (2i-1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-3)+(2k-1)\,.

例如：9??=1+3+5+7+9=25.

的双阶加是平方数序列。它开始为

: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...

质数阶加
质数阶加可以作为質數階乘的一个类似物，表示为。它被定义为小于或等于的质数之和，即

: n\S=p_{\pi(n)}\S = \sum_{i=1}^{\pi(n)} p_i\,,

\pi(n)是素数计数函数。

例如：11\S=p_5\S=2+3+5+7+11=28

前几个结果是

: 0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...

倒数阶加
倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个調和數。

: \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =H_n.

例如：\sum_{i=1}^3 \frac{1}{i}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{11}{6}.

参见

• 三角形數
• 求和符号
• 階乘
• 階冪

参考文献