充分必要条件

充分必要條件，簡稱充要條件，是逻辑学中用于描述两个陈述之间的条件关系或包含关系的术语。

在逻辑学中：
*当命题「若P則Q」为真时，P称为Q的充分条件，Q称为P的必要条件。

因此：
*当命题「若P則Q」與「若Q則P」皆为真时，P是Q的充分必要条件，同时，Q也是P的充分必要条件。
*当命题「若P則Q」为真，而「若Q則P」为假时，我们称P是Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件，反之亦然。

充分條件
P是Q的充分條件，代表「如果P是真，則Q是真」或「如果Q是假，則P是假」。

以邏輯符號表示：
: P \rightarrow Q

*例子1：一個數字能被4整除，是成為偶數的充分（但不必要）條件。能被2整除，則是充分及必要條件。

必要條件
Q是P的必要條件，代表「如果Q是假，則P是假」。

以邏輯符號表示：
: \lnot Q \rightarrow \lnot P

通過否定後件，得出「如果P是真，則Q是真」。
: P \rightarrow Q

*例子1：對於大於2的整數，奇數是成為質數的必要條件。如果一個整數大於2且是質數，它必定是奇數。
*例子2：年滿30歲是成為美國參議員的必要條件。如果他是參議員，他必定年滿30歲。

必要條件及充分條件
P是Q的充分及必要條件，代表「若且唯若P是真，則Q是真」，即 P \rightarrow Q 與 Q \rightarrow P 同時成立。

以邏輯符號表示：
: P \leftrightarrow Q

留意 \lnot P \rightarrow \lnot Q 可以推出 Q \rightarrow P。
: (\lnot P \rightarrow \lnot Q) \land (P \rightarrow Q)
: (Q \rightarrow P) \land (P \rightarrow Q)
: P \leftrightarrow Q

舉例
1.若P表「人類生存」，Q表「人類呼吸」
: \lnot Q \rightarrow \lnot P
: P \rightarrow Q
:此時呼吸是生存的必要條件，生存是呼吸的充分條件，因为活着的人一定要呼吸，
: Q \rightarrow P （錯誤）
:然而呼吸并非生存的充分条件，生存并非呼吸的必要条件，因為只會呼吸並不足以讓人生存下去，
:故P为Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件。

2.若P表「三角形三邊長相等」，Q表「三角形三內角相等」
: P \leftrightarrow Q
:此時這2個條件互為「充分（且）必要条件」。

3.若P表「正整數x是完全平方數」，Q表「正整數x的正因數個數是奇數」
: P \leftrightarrow Q
:此時這2個條件互為「充分（且）必要条件」。

参考文献
参见
*前件
*后件
*实质条件
*当且仅当

;有效論證
*肯定前件
*否定後件

;無效論證
*否定前件
*肯定後件
*謬誤

外部鏈接
*西門菲莎大學：[https://www.sfu.ca/~swartz/conditions1.htm 概念實例]