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广义逆阵

Wikipedia · 2026-01-27 维基百科 👁 1 阅读

广义逆（Generalized inverse），是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵，是指具有部份逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假設一矩陣A \in \mathbb{R}^{n\times m}及另一矩陣A^{\mathrm g} \in \mathbb{R}^{m\times n}，若A^{\mathrm g}滿足 AA^{\mathrm g}A = A，則A^{\mathrm g}即為A的广义逆阵。

广义逆也稱為偽逆（pseudoinverse），有些时候，偽逆特指摩尔－彭若斯广义逆。

建構广义逆阵的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣（例如非方陣的矩陣）可以找到一矩陣有一些類似逆矩阵的特性。任意的矩陣都存在广义逆阵，若一矩陣存在逆矩阵，逆矩阵即為其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定義在和結合律乘法有關的數學結構（例如半群）中。

提出廣義逆陣的原因
考慮以下的線性方程
:Ax=y
其中A為n\times m的矩陣，而y\in \mathcal R(A) ， A的列空間。
若矩陣A為可逆矩陣，則x=A^{-1}y即為方程式的解。而若矩陣A為可逆矩陣
:AA^{-1}A=A
假設矩陣A不可逆或是n\neq m，需要一個適合的m\times n矩陣G使得下式成立
:AGy=y
因此Gy為線性系統Ax = y的解。
而同樣的，m\times n階的矩陣G也會使下式成立
:AGA=A
因此可以用以下的方式定義广义逆阵：假設一個n \times m的矩陣A，m \times n的矩陣G若可以使下式成立，矩陣G即為A的广义逆阵

:AGA=A

產生廣義逆陣
以下是一種產生廣義逆陣的方式：

若A=BC為其，則G= C_r^- B_l^-為A的廣義逆陣，其中C_r^-為C的右逆矩陣，而B_l^-為B的左逆矩陣。

若A=P\begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix} Q，其中P及Q為可逆矩陣，則G=Q^{-1}\begin{bmatrix}I_r & U \\W & V\end{bmatrix} P^{-1}是A的廣義逆陣，其中U,V及W均為任意矩陣。

令A為秩為r的矩陣，在不失一般性的情形下，令A=\begin{bmatrix}B &C \\D & E\end{bmatrix}，其中B_{r\times r}為A的可逆子矩陣，則G=\begin{bmatrix} B^{-1} & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}為A的廣義逆陣。

广义逆阵的種類
彭若斯條件可以用來定義不同的广义逆阵：針對A \in \mathbb{R}^{n\times m}及A^{\mathrm g} \in \mathbb{R}^{m\times n},

若A^{\mathrm g}滿足條件(1.)，即為A的广义逆阵，若滿足條件(1.)和(2.)，則為A的廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse），若四個條件都滿足，則為A的摩尔－彭若斯广义逆。

以下是一些其他種類的广义逆阵

  • 單邊逆矩陣（左逆矩陣或是右逆矩陣）若矩陣A的維度是n \times m且為 满秩，若n > m則用左逆矩陣，若n 則用右逆矩陣。

** 左逆矩陣為A_{\mathrm{left}}^{-1} = \left(A^{\mathrm T} A\right)^{-1} A^{\mathrm T}，也就是A_{\mathrm{left}}^{-1} A = I_m，其中I_m為m \times m單位矩陣。
** 右逆矩陣為A_{\mathrm{right}}^{-1} = A^{\mathrm T} \left(A A^{\mathrm T}\right)^{-1}，也就是A A_{\mathrm{right}}^{-1} = I_n，其中 I_n為n \times n單位矩陣。
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  • 摩尔－彭若斯广义逆

應用
任何一種广义逆阵都可以用來判斷线性方程组是否有解，若有解時列出其所有的解。若以下n × m的線性系統有解存在
:Ax=b

其中向量x為未知數，向量b為常數，以下是所有的解

:x=A^{\mathrm g}b + [I-A^{\mathrm g}A]w

其中參數w為任意矩陣，而A^{\mathrm g}為A的任何一個广义逆阵。解存在的條件若且唯若A^{\mathrm g}b為其中一個解，也就是若且唯若AA^{\mathrm g}b=b。

參考資料
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相關條目
*反元素
*摩尔－彭若斯广义逆
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外部連結

#数学术语 #矩陣

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